§ 3. Высоты треугольника

Определения и обозначения

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой угол 90°. Он может выйти за пределы треугольника, потому что противоположная сторона рассматривается вместе со своим продолжением.

Основание высоты — точка, в которой высота пересекает прямую, содержащую противоположную сторону. Например, если из вершины A опущена высота AH на прямую BC, то H — её основание, а угол AHB прямой. На чертеже прямой угол отмечают маленьким квадратиком, чтобы сразу отличать высоту от других отрезков.

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника; её обозначают буквой H. Из каждой вершины можно провести свою высоту, и все три проходят через одну и ту же точку. Это свойство позволяет найти ортоцентр, построив лишь две высоты, а затем проверить положение третьей.

Как это устроено

Чтобы построить высоту, выбери вершину и проведи из неё перпендикуляр к противоположной стороне или к её продолжению. Так поступают потому, что высота определяется не попаданием внутрь отрезка, а прямым углом к прямой, на которой лежит сторона. Например, для высоты из A нужно ориентироваться на прямую BC, а не на одну из сторон, прилегающих к A. Если перпендикуляр не пересекает сам отрезок BC, продолжи его линейкой.

В остроугольном треугольнике все три угла меньше 90°, поэтому перпендикуляр из каждой вершины попадает на противоположную сторону. Основания всех высот оказываются на сторонах, а сами высоты проходят внутри треугольника. Внутри они сходятся, поэтому ортоцентр также лежит внутри. Это можно проверить на чертеже: три высоты должны встретиться в одной точке.

В прямоугольном треугольнике два катета уже перпендикулярны друг другу. Поэтому каждый катет можно считать высотой, опущенной из противоположной вершины на другой катет. Третью высоту проводят из вершины прямого угла к гипотенузе — стороне напротив него. Все три высоты пересекаются в вершине прямого угла, так что именно там находится ортоцентр.

В тупоугольном треугольнике один угол больше 90°, а два остальных острые. Высота из вершины тупого угла попадает на противоположную сторону, но перпендикуляры из острых вершин не достигают соответствующих сторон внутри отрезков. Поэтому эти стороны приходится продолжить, и основания двух высот оказываются снаружи треугольника. Точка пересечения высот тоже лежит вне него.

Единство точки пересечения можно обосновать с помощью параллельных прямых. Проведём через каждую вершину прямую, параллельную противоположной стороне: получим большой треугольник, сторонами которого стали эти прямые. Вершины исходного треугольника будут серединами сторон большого, поскольку параллельные прямые образуют параллелограммные отрезки. Каждая высота исходного треугольника проходит через середину стороны большого треугольника и перпендикулярна этой стороне, то есть является её серединным перпендикуляром. Серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке, значит, в одной точке пересекаются и три высоты исходного треугольника.

Расположение высот и ортоцентра в зависимости от вида треугольника

Сначала определи вид треугольника по его углам, а затем найди подходящую строку таблицы. Она подсказывает, куда направлять перпендикуляры и где искать ортоцентр. Для прямоугольного треугольника отдельно учти, что два катета уже являются высотами.

Разбор задач

Построить все высоты остроугольного треугольника и обозначить их основания

Пусть дан остроугольный треугольник ABC. Нужно получить три перпендикуляра к противоположным сторонам и назвать точки их пересечения со сторонами. Так как все углы острые, продолжать стороны для построения не потребуется.

1. Из вершины A проведи перпендикуляр к стороне BC. Точку пересечения обозначь D, тогда AD — высота, а D — её основание.
2. Из вершины B проведи перпендикуляр к стороне AC и обозначь основание E. Отрезок BE — вторая высота.
3. Из вершины C проведи перпендикуляр к стороне AB и обозначь основание F. Отрезок CF — третья высота.
4. Проверь, что в точках D, E и F отмечены прямые углы. Убедись, что высоты пересекаются в одной точке H.

Ответ: высоты — AD, BE и CF; их основания — D, E и F, а общая точка пересечения — ортоцентр H.

В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой: определить совпадающие высоты и ортоцентр

Так как угол C равен 90°, стороны AC и BC — катеты, а AB — гипотенуза. Ищем высоту из каждой вершины, сверяя её направление с прямой, содержащей противоположную сторону. Это помогает не принять высоту к гипотенузе за одну из высот, совпадающих с катетами.

1. Из A нужно провести перпендикуляр к BC. Поскольку AC ⟂ BC, высота из A уже совпадает со стороной AC.
2. Из B перпендикуляр к AC совпадает со стороной BC, так как катеты взаимно перпендикулярны.
3. Из C проведи перпендикуляр к AB. Он и будет третьей высотой, опущенной на гипотенузу.
4. Первые две высоты AC и BC пересекаются в точке C. Значит, туда же должна проходить и третья высота.

Ответ: высота из A совпадает с AC, высота из B — с BC; третья высота проведена из C к AB. Ортоцентр находится в вершине C.

Построить высоты тупоугольного треугольника ABC, угол A тупой

В этом треугольнике углы B и C острые. Поэтому при построении важно следить не за тем, попадает ли перпендикуляр на отрезок стороны, а за тем, перпендикулярен ли он прямой, содержащей эту сторону. Продолжения сторон понадобятся для высот из острых вершин.

1. Из A проведи перпендикуляр к BC. Его основание D лежит на стороне BC, так как перпендикуляр опускается из тупого угла на противоположную сторону.
2. Продли AC за точку A и из B проведи перпендикуляр к прямой AC. Обозначь основание E на продолжении; BE — высота.
3. Продли AB за точку A и из C проведи перпендикуляр к прямой AB. Обозначь основание F на продолжении; CF — третья высота.
4. Продолжи высоты до их пересечения. Общую точку H ищи за пределами треугольника и проверь, что все три прямые проходят через неё.

Ответ: высоты из B и C падают на продолжения AC и AB соответственно; высота из A падает на BC. Ортоцентр H находится вне треугольника.

Типичные ошибки

• Неверно считать высотой только перпендикуляр, попавший на отрезок стороны. Так думают, потому что часто сначала строят высоты остроугольных треугольников. Проверь себя: продли противоположную сторону и убедись, что высота перпендикулярна именно её прямой.

• Высоту иногда путают с медианой или биссектрисой. Эти отрезки могут выглядеть похоже, особенно на схематичном рисунке, но медиана проходит через середину стороны, а биссектриса делит угол пополам. Проверка простая: у высоты обязательно должен быть отмечен прямой угол.

• Ошибка — провести высоту к прилежащей стороне, то есть к стороне рядом с выбранной вершиной. Это происходит, если ориентироваться только на близкую сторону, а не на определение. Назови вершину, затем найди сторону напротив неё: перпендикуляр нужно провести к прямой, содержащей именно эту сторону.

• Нельзя утверждать, что ортоцентр всегда находится внутри треугольника. Такое положение верно для остроугольного треугольника, но в прямоугольном ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном находится снаружи. Перед ответом определи вид треугольника и сверь положение точки с таблицей.

Связь с другими темами

Для построения высот нужны знания о перпендикулярных прямых, прямом угле и способах построения перпендикуляра. Понятие высоты применяется при вычислении площади треугольника: если основание равно a, а соответствующая высота — h, то S = ½ah. При этом основанием может быть любая сторона, но высоту выбирают именно к ней. Высоты и ортоцентр также помогают доказывать и исследовать свойства треугольников.

Что запомнить

• Высота проводится из вершины перпендикулярно прямой, содержащей противоположную сторону.
• Основание высоты может находиться на стороне или на её продолжении.
• В любом треугольнике три высоты пересекаются в одной точке — ортоцентре.
• В остроугольном треугольнике ортоцентр находится внутри.
• В прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.
• В тупоугольном треугольнике ортоцентр находится вне треугольника.