§ 4. Биссектрисы треугольника

Определения и обозначения

Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Если луч AD делит угол BAC пополам, равенство записывают так: ∠BAD = ∠DAC. Это обозначение помогает сразу увидеть, какие углы можно приравнять в вычислении или доказательстве.

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины до противоположной стороны. Например, если луч из вершины A пересекает сторону BC в точке D, отрезок AD является биссектрисой треугольника. Такое определение уточняет, что в треугольнике рассматривают не весь луч, а его часть внутри фигуры.

Инцентр — точка пересечения биссектрис треугольника; она находится внутри треугольника. Обычно её обозначают буквой I. Инцентр нужен, чтобы описывать общую точку биссектрис и строить вписанную окружность.

Расстояние от точки до стороны — длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, содержащую сторону. Конец перпендикуляра может лежать на самой стороне или на её продолжении. Такое расстояние используют, когда сравнивают, насколько точка удалена от сторон угла.

Как это устроено

Возьмём точку на биссектрисе угла и опустим из неё перпендикуляры к обеим сторонам. Получатся два прямоугольных треугольника: у них общая гипотенуза — отрезок от вершины угла до точки. Острые углы при вершине равны, потому что точка лежит на биссектрисе, поэтому прямоугольные треугольники равны. Значит, их соответствующие катеты, то есть перпендикулярные расстояния до сторон, тоже равны.

Теперь рассмотрим обратную ситуацию: точка внутри угла равноудалена от его сторон. Проведём из неё перпендикуляры к сторонам и соединим точку с вершиной угла. Образовавшиеся прямоугольные треугольники имеют общую гипотенузу, а катеты, равные расстояниям до сторон, у них одинаковы. Поэтому треугольники равны, и углы при вершине угла равны; соединяющий отрезок лежит на биссектрисе.

У треугольника пересекаются две биссектрисы, и их точка пересечения находится внутри него. Эта точка равноудалена от двух сторон, образующих один угол, поскольку лежит на его биссектрисе. Для третьей стороны рассуждаем так: точка равноудалена от двух сторон другого угла, значит, по обратному свойству она лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, все три биссектрисы проходят через одну точку.

Точка пересечения биссектрис равноудалена от всех трёх сторон треугольника. Если взять это общее расстояние за радиус и провести окружность с центром в точке пересечения, окружность будет касаться каждой стороны: радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен стороне. Такая окружность лежит внутри треугольника и называется вписанной, а точка её центра — инцентром.

Биссектриса делит сторону, противоположную вершине, на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Если AD — биссектриса угла A треугольника ABC, то BD/DC = AB/AC. Например, если AB больше AC, то и отрезок BD больше DC: это следует из пропорции. Теорему применяют, когда известны две стороны и один из отрезков либо нужно найти отношение частей стороны.

Основные свойства биссектрис треугольника

Сначала найди в таблице нужный объект, затем проверь, какие данные задачи соответствуют его свойству. Для вычислений по теореме о биссектрисе следи за порядком: BD относится к DC так же, как AB относится к AC.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC луч AD — биссектриса угла A. Если угол BAD равен 34°, найди угол DAC. Нужно использовать именно определение биссектрисы: она делит исходный угол на две равные части. Поэтому второй угол равен первому, а вычислять весь угол A для ответа не требуется.

1. Записываем равенство: ∠BAD = ∠DAC, так как AD — биссектриса.
2. Подставляем известное значение: ∠DAC = 34°.

Ответ: 34°.

Задача 2. Точка I лежит на биссектрисе угла и удалена от одной его стороны на 5 см. Найди расстояние от I до другой стороны. Расстояние здесь измеряется перпендикуляром до прямой стороны, а не отрезком до вершины. Так как I находится на биссектрисе, можно применить свойство равноудалённости от сторон.

1. Обозначаем расстояния от I до двух сторон через d₁ и d₂.
2. По свойству точки на биссектрисе d₁ = d₂.
3. Подставляем известное расстояние: d₁ = 5 см, значит, d₂ = 5 см.

Ответ: 5 см.

Задача 3. В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает BC в точке D. Дано AB = 6 см, AC = 9 см и BD = 4 см. Найди DC. Обозначения важны: BD относится к DC, а прилежащая к BD сторона AB — к AC. Сначала составим пропорцию, затем найдём неизвестный член.

1. По теореме о биссектрисе BD/DC = AB/AC.
2. Подставляем значения: 4/DC = 6/9.
3. Перемножаем крест-накрест: 6 · DC = 4 · 9, поэтому DC = 36/6 = 6 см.
4. Проверяем: отрезки 4 и 6 относятся как 2 к 3, как и стороны 6 и 9.

Ответ: 6 см.

Типичные ошибки

Называть биссектрисой треугольника весь луч или прямую — неточно: в треугольнике это отрезок от вершины до противоположной стороны. Путаница возникает из-за того, что сначала биссектрисой называют луч угла. Проверь себя: у отрезка должны быть указаны вершина треугольника и точка на противоположной стороне.

Не всякая точка, равноудалённая от сторон угла, обязательно лежит на его внутренней биссектрисе: возможна и внешняя биссектриса, а точка может находиться вне самого угла. Ошибка появляется, если забыть о расположении точки. Для обратного свойства проверяй, что точка находится внутри угла.

Расстояние до стороны нельзя заменять расстоянием до её вершины. Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, поэтому отрезок, проведённый под другим углом, не подходит. Чтобы проверить решение, отметь прямой угол у основания перпендикуляра.

В теореме о биссектрисе иногда записывают пропорцию в неверном порядке. Если AD делит угол A, то BD/DC = AB/AC: каждому отрезку стороны соответствует прилежащая ему сторона. Перед вычислением сопоставь пары, а после — проверь, что большая прилежащая сторона соответствует большему отрезку.

Связь с другими темами

Для работы с биссектрисами нужны определение биссектрисы угла, свойства равных треугольников и понятие расстояния от точки до прямой. Равенство прямоугольных треугольников объясняет, почему расстояния от точки на биссектрисе до сторон одинаковы. Эти свойства используют при доказательстве геометрических утверждений и нахождении элементов треугольника.

Инцентр помогает построить вписанную окружность, а теорема о биссектрисе связывает длины сторон с пропорциональными отрезками. Поэтому тема соединяет построения и вычисления: в одной задаче можно искать центр окружности, в другой — неизвестную часть стороны треугольника.

Что запомнить

• Биссектриса треугольника соединяет вершину с противоположной стороной.
• Точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.
• Точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе.
• Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — инцентре.
• Инцентр равноудалён от всех сторон треугольника.
• Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон.