18.1. Корни многочленов

Определения и обозначения

Многочлен записывают в стандартном виде: P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀, где aₙ ≠ 0. Число n называют степенью многочлена, а числа aₙ, aₙ₋₁, …, a₀ — его коэффициентами. Такая запись помогает видеть старшую степень и применять свойства многочленов.

Корень многочлена P(x) — это число a, при котором P(a) = 0. Иными словами, после замены переменной x на a всё выражение должно дать нуль. Поиск корней нужен для решения уравнений и разложения многочлена на множители.

Кратность корня — это число раз, которое соответствующий линейный множитель x − a входит в разложение многочлена. Если P(x) = (x − a)ᵐQ(x), а Q(a) ≠ 0, то корень a имеет кратность m. Это позволяет отличать простое появление корня от его повторения.

Кратный корень — корень, имеющий кратность больше единицы. Например, в выражении (x − 3)² множитель x − 3 повторяется два раза, поэтому 3 — корень кратности 2. Повторяющийся множитель не создаёт нового значения корня, а только увеличивает его кратность.

Как это устроено

Подстановка числа a в P(x) превращает многочлен в обычное числовое выражение P(a). Если результат равен нулю, равенство P(a) = 0 выполнено, поэтому a является корнем. Если получено ненулевое число, это значение корнем не является.

Если a — корень, то P(a) = 0. При делении P(x) на x − a остаток является постоянным числом и равен P(a), поэтому остаток равен нулю. Значит, P(x) делится на x − a без остатка и представляется как P(x) = (x − a)Q(x); это содержание теоремы о корне многочлена.

При выделении множителя x − a степень произведения уменьшается на единицу: если P имеет степень n, то Q имеет степень n − 1. Каждый новый различный корень позволяет снова выделить линейный множитель. После n таких шагов степень уже исчерпана, поэтому ненулевой многочлен степени n не может иметь более n различных корней.

Если множитель x − a входит несколько раз, его записывают степенью: P(x) = (x − a)ᵐQ(x), где Q(a) ≠ 0. Условие Q(a) ≠ 0 означает, что дальнейшее повторение этого множителя уже не скрыто в Q(x). Поэтому показатель m и есть кратность корня a.

Полное разложение на линейные множители сразу показывает корни: каждый множитель x − a даёт значение a. Чтобы убедиться в результате, найденные значения подставляют в исходный многочлен, а не только в промежуточное разложение. Такое сравнение одновременно проверяет и вычисления, и знаки в множителях.

Корни и линейные множители многочлена

Сначала определите, какая ситуация описана, а затем используйте соответствующую строку. Показатель степени у повторяющегося множителя считайте кратностью, но само значение корня учитывайте только один раз среди различных корней. Ограничение по степени удобно применять для быстрой проверки результата.

Разбор задач

Задача 1. Проверить, является ли число 2 корнем многочлена P(x) = x² − 5x + 6. Здесь не нужно сразу раскладывать выражение на множители: достаточно вычислить значение многочлена в указанной точке.

1. Подставим x = 2: P(2) = 2² − 5 · 2 + 6.
2. Вычислим: P(2) = 4 − 10 + 6 = 0.
3. Так как значение равно нулю, условие корня выполнено.

Ответ: 2 является корнем многочлена.

Задача 2. Найти корни P(x) = x³ − 4x. Общий множитель x нужно вынести первым, потому что после этого получится произведение линейных множителей.

1. Выносим x: P(x) = x(x² − 4).
2. Применяем разность квадратов: P(x) = x(x − 2)(x + 2).
3. Приравниваем множители к нулю: x = 0, x − 2 = 0 или x + 2 = 0.

Ответ: корни 0, 2 и −2.

Задача 3. Для P(x) = (x − 1)²(x + 2) определить корни, кратности и сравнить их количество со степенью. Разложение уже дано, поэтому корни и повторения можно прочитать непосредственно из множителей.

1. Из x − 1 = 0 получаем корень 1; показатель 2 означает кратность 2.
2. Из x + 2 = 0 получаем корень −2; этот множитель встречается один раз, поэтому кратность равна 1.
3. Степень многочлена равна 3, а различных корней два. С учётом кратностей корней три: 1, 1 и −2, что не противоречит ограничению.

Ответ: 1 — корень кратности 2, −2 — корень кратности 1; различных корней 2, а степень равна 3.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Число называют корнем без вычисления P(a). Такое бывает, когда ученик ориентируется на внешний вид выражения или предполагаемый ответ. Подставьте число в исходный многочлен и проверьте, что результат действительно равен нулю.

Ошибка 2. Считают, что многочлен степени n обязательно имеет n различных корней. На самом деле это только верхняя граница: корни могут совпадать или отсутствовать среди действительных чисел. Сначала найдите фактические корни, затем сравните их количество со степенью.

Ошибка 3. Кратность смешивают с числом различных корней. Два одинаковых множителя дают один корень, но кратности 2. Запишите разложение и отдельно посчитайте разные значения и повторения множителей.

Ошибка 4. Приравнивают к нулю отдельные слагаемые, например x³ и −4x. Это неверно для суммы: так делают только после преобразования в произведение множителей. Проверьте, есть ли перед вами равенство произведения нулю.

Связь с другими темами

Для работы с корнями нужны знания о степени многочлена, подстановке значения переменной и делении многочлена на многочлен. Эти операции позволяют проверить значение и доказать делимость на x − a.

Понятие корня непосредственно связано с решением уравнений: уравнение P(x) = 0 ищет именно корни многочлена. Разложение на множители превращает поиск корней в решение простых линейных равенств.

Ограничение на число корней помогает исследовать уравнения и проверять предполагаемые разложения. Если найдено больше различных корней, чем допускает степень, в рассуждении есть ошибка.

Что запомнить

• Корень многочлена — число, при котором многочлен равен нулю.
• Если a — корень P(x), то x − a является множителем P(x).
• У ненулевого многочлена степени n не более n различных корней.
• Кратность корня равна числу повторений соответствующего линейного множителя.
• Разложение на множители помогает найти корни многочлена.
• Найденные корни можно проверить подстановкой.