§ 18. Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел

Определения и обозначения

Корень многочлена — значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль. Иными словами, число a является корнем P, если P(a) = 0, поэтому найти корни — значит решить уравнение P(x) = 0. Эта связь позволяет изучать уравнение через свойства самого многочлена.

Кратность корня — число повторений соответствующего линейного множителя в разложении многочлена. Если множитель (x − a) встречается дважды, корень a имеет кратность 2. Кратность показывает, сколько раз корень учитывается при подсчёте всех корней многочлена.

Аргумент комплексного числа — угол φ, задающий направление ненулевого числа на комплексной плоскости. Число изображают точкой или вектором с координатами Re z и Im z, а угол отсчитывают от положительного направления действительной оси. Аргумент определён с точностью до 2π: углы φ и φ + 2πk задают то же направление, где k ∈ Z.

Показательная форма комплексного числа — запись ненулевого числа z как re^iφ, где r — модуль числа, а φ — его аргумент. Она кратко объединяет длину вектора и направление на комплексной плоскости. Такая запись особенно удобна для умножения, степеней и извлечения корней.

Как это устроено

Чтобы проверить, является ли число корнем, его подставляют вместо переменной и вычисляют значение многочлена. Если результат равен нулю, число подходит; если нет — не является корнем. Например, для проверки числа a достаточно вычислить P(a), а не решать уравнение заново. Подстановка работает потому, что корень по определению обращает весь многочлен в нуль.

Если P(a) = 0, при делении P(x) на x − a остаток равен P(a), а значит, равен нулю. Поэтому P(x) делится на x − a без остатка и содержит этот линейный множитель. Если P(x) = (x − a)^mQ(x), где Q(a) ≠ 0, то кратность корня a равна m. Каждый повтор множителя даёт ещё одно появление того же корня при подсчёте корней.

Основная теорема алгебры утверждает, что многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней, если считать их с учётом кратностей. Например, двукратный корень учитывается дважды, даже если это одно и то же число. Если коэффициенты многочлена действительные и корень a = u + vi невещественный, то сопряжённое число ā = u − vi тоже корень. Это следует из того, что сопряжение суммы и произведения не меняет действительные коэффициенты, поэтому корни возникают парами.

Тригонометрическая форма числа — z = r(cos φ + i sin φ), где r — модуль, φ — аргумент. По формуле Эйлера e^iφ = cos φ + i sin φ выражение в скобках можно заменить на e^iφ. Получается показательная форма z = re^iφ. Она не меняет само число, а лишь записывает его так, чтобы отдельно видеть модуль и аргумент.

При умножении re^iφ на se^iψ модули перемножаются, а аргументы складываются: результат равен rs e^i(φ+ψ). При делении ненулевых чисел модули делятся, а аргументы вычитаются. При возведении в целую степень n модуль становится rⁿ, а аргумент — nφ. Для корней n-й степени модуль равен ⁿ√r, а аргументы имеют вид (φ + 2πk)/n; разные k дают разные направления и все корни.

Комплексное число в тригонометрической и показательной формах

Таблица показывает, что обе формы описывают одно и то же число: меняется только запись. Тригонометрическая форма наглядно показывает координаты через синус и косинус, а показательная делает вычисления короче. При работе с аргументом помните, что его можно заменить на φ + 2πk.

Разбор задач

Задача 1. Найдите корни многочлена P(x) = x² − 5x + 6 и запишите разложение P(x) на множители.

1. Ищем два числа, произведение которых равно 6, а сумма — 5: это 2 и 3. Такой подбор соответствует разложению квадратного трёхчлена на линейные множители.
2. Записываем P(x) = (x − 2)(x − 3). Проверка раскрытием скобок даёт x² − 5x + 6.
3. Приравниваем каждый множитель к нулю: x − 2 = 0 или x − 3 = 0. Получаем x = 2 и x = 3.

Ответ: корни 2 и 3; P(x) = (x − 2)(x − 3).

Задача 2. Запишите число z = −1 + i√3 в показательной форме.

1. Находим модуль: r = √((-1)² + (√3)²) = √4 = 2. Значит, искомая запись будет иметь вид 2e^iφ.
2. Точка имеет координаты (−1, √3): действительная часть отрицательна, мнимая положительна, поэтому она находится во второй четверти. Опорный угол равен π/3, следовательно, аргумент φ = 2π/3.
3. Подставляем модуль и аргумент в показательную форму. Для проверки можно получить тригонометрическую запись 2(cos 2π/3 + i sin 2π/3) = −1 + i√3.

Ответ: z = 2e^i2π/3.

Задача 3. Решите уравнение z³ = 8i и запишите все корни в алгебраической форме.

1. Записываем правую часть в показательной форме: 8i = 8e^i(π/2+2πm), где m ∈ Z. Модуль равен 8, а аргумент можно задавать с добавлением полного оборота.
2. Модуль каждого корня равен ∛8 = 2, а его аргументы φ_k = (π/2 + 2πk)/3 = π/6 + 2πk/3, где k = 0, 1, 2. Берём три значения k, потому что уравнение третьей степени имеет три корня с учётом кратностей.
3. При k = 0 получаем 2(cos π/6 + i sin π/6) = √3 + i. При k = 1 выходит 2(cos 5π/6 + i sin 5π/6) = −√3 + i, а при k = 2 — 2(cos 3π/2 + i sin 3π/2) = −2i.

Ответ: z = √3 + i, z = −√3 + i, z = −2i.

Типичные ошибки

Считать аргумент единственным. Обычно записывают только один угол, например φ, и забывают, что φ + 2πk задаёт то же направление. Это приводит к потере решений при извлечении корней. Проверяйте, что учтены все значения аргумента, отличающиеся на полный оборот.

Неверно выполнять умножение в показательной форме. Иногда модули складывают, а аргументы перемножают, перенося правила сложения алгебраической формы на другую запись. Но из свойств степеней следует, что модули перемножаются, а аргументы складываются. Для проверки раскройте каждое число по формуле Эйлера или примените правило re^iφ · se^iψ = rs e^i(φ+ψ).

Учитывать только один корень n-й степени. Если поделить аргумент на n только один раз, получится лишь один из корней. Остальные возникают из-за добавления 2πk к исходному аргументу до деления на n. Переберите k = 0, 1, …, n − 1 и убедитесь, что получено n разных значений.

Не записывать сопряжённый корень. Для многочлена с действительными коэффициентами появление невещественного корня требует также его сопряжённого. Эту пару легко пропустить, если решать уравнение только в одной из комплексных областей. Проверяйте результат: вместе с u + vi должен быть корень u − vi.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа, а также умение находить модуль и аргумент. Разложение многочленов на множители и решение квадратных уравнений помогают находить корни и проверять разложения. Показательная форма продолжает изучение комплексных чисел и особенно полезна при решении уравнений высших степеней. С её помощью проще вычислять степени и корни комплексных чисел.

Что запомнить

• Число a является корнем многочлена P, если P(a) = 0.
• Корню a соответствует множитель x − a.
• У многочлена степени n ровно n комплексных корней с учётом кратностей.
• У многочлена с действительными коэффициентами невещественные корни входят в сопряжённых парах.
• Показательная форма ненулевого комплексного числа: z = re^iφ.
• При умножении комплексных чисел в показательной форме модули перемножаются, а аргументы складываются.
• При извлечении корня n-й степени нужно учитывать n значений аргумента.