17.2. Корни из комплексных чисел и их свойства

Определения и обозначения

Корень n-й степени из комплексного числа z — комплексное число w, для которого wⁿ = z, где n — натуральное число. Например, квадратный корень соответствует n = 2, а кубический — n = 3. Это определение превращает извлечение корня в решение уравнения.

Показательная форма комплексного числа в данном контексте — запись ненулевого числа через модуль и аргумент: z = r(cos φ + i sin φ), где r = |z|. Она удобна тем, что при возведении в степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на неё. Поэтому именно такую форму используют для поиска корней.

Аргументы комплексного числа — все углы, задающие его направление на комплексной плоскости. Если φ — один аргумент, то остальные имеют вид φ + 2πk, где k ∈ Z. Это нужно учитывать, потому что угол и угол, отличающийся на полный оборот, задают одно и то же число.

Корни n-й степени из ненулевого комплексного числа находят по формуле с аргументами (φ + 2πk)/n, где k = 0, 1, …, n − 1. Модуль каждого корня равен ⁿ√r. Такая запись сразу показывает и способ вычисления, и количество различных корней.

Как это устроено

Для извлечения корня сначала представляют ненулевое число в тригонометрической форме: z = r(cos φ + i sin φ). Причина проста: формула Муавра превращает возведение в степень в отдельные действия с модулем и аргументом. Если w = ρ(cos θ + i sin θ), то wⁿ = ρⁿ(cos nθ + i sin nθ), поэтому уравнение wⁿ = z можно решать по двум частям.

Пусть |z| = r, а |w| = ρ. Из равенства wⁿ = z следует ρⁿ = r, поскольку модуль произведения и степени вычисляется отдельно. Так как модуль неотрицателен, получаем единственное значение ρ = ⁿ√r. Значит, все корни находятся на одной окружности с радиусом ⁿ√r.

Аргумент исходного числа нельзя считать только одним углом: он имеет вид φ + 2πk. Если θ — аргумент корня, то после возведения в n-ю степень получится угол nθ, который должен совпасть с одним из этих аргументов. Поэтому nθ = φ + 2πk, откуда θ = (φ + 2πk)/n.

Для получения всех различных корней достаточно взять k = 0, 1, …, n − 1. При увеличении k на n аргумент корня увеличивается на 2π, то есть возвращается к тому же направлению. Значения внутри выбранного диапазона отличаются на 2π/n, поэтому задают разные точки.

Все корни ненулевого числа лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом ⁿ√r. Соседние корни разделены одинаковым центральным углом 2π/n. Поэтому они делят окружность на равные дуги и образуют правильный n-угольник, если соединить соседние точки.

Корни n-й степени из комплексного числа

Таблица помогает сначала определить, является ли число нулём. Для z ≠ 0 нужно найти модуль и один аргумент, а затем применить формулу для всех значений k от 0 до n − 1. Для z = 0 вычисления с аргументом не нужны: единственный корень сразу равен нулю.

Разбор задач

Задача 1. Найти квадратные корни из числа −1. Число −1 имеет модуль 1 и аргумент π, поэтому его можно записать как cos π + i sin π. Используем формулу при n = 2.

1. Берём k = 0 и k = 1: θ₀ = π/2, θ₁ = (π + 2π)/2 = 3π/2.
2. Модуль каждого корня равен √1 = 1.
3. Получаем w₀ = cos(π/2) + i sin(π/2) = i и w₁ = cos(3π/2) + i sin(3π/2) = −i.

Ответ: w = i и w = −i. Проверка: i² = −1 и (−i)² = −1.

Задача 2. Найти все кубические корни из 8i и изобразить их на комплексной плоскости. Модуль числа 8i равен 8, а один аргумент равен π/2. При n = 3 радиус корней равен ³√8 = 2.

1. Для k = 0, 1, 2 вычисляем углы: π/6, 5π/6 и 3π/2.
2. Записываем корни: 2(cos π/6 + i sin π/6) = √3 + i; 2(cos 5π/6 + i sin 5π/6) = −√3 + i; 2(cos 3π/2 + i sin 3π/2) = −2i.
3. На плоскости отмечаем точки (√3; 1), (−√3; 1) и (0; −2). Они лежат на окружности радиуса 2 и разделены углами 2π/3.

Ответ: √3 + i, −√3 + i, −2i.

Задача 3. Решить уравнение z⁴ = 16(cos(π/3) + i sin(π/3)). Здесь модуль правой части равен 16, аргумент — π/3, а степень равна 4. Поэтому модуль каждого решения равен ⁴√16 = 2.

1. Берём k = 0, 1, 2, 3 и находим углы: π/12, 7π/12, 13π/12, 19π/12.
2. Корни имеют вид 2(cos π/12 + i sin π/12), 2(cos 7π/12 + i sin 7π/12), 2(cos 13π/12 + i sin 13π/12), 2(cos 19π/12 + i sin 19π/12).
3. Проверка выполняется по формуле Муавра: модуль становится 2⁴ = 16, а каждый угол умножается на 4 и отличается от π/3 на целое число оборотов 2π.

Ответ: четыре числа, записанные в пункте 2. При возведении каждого из них в четвёртую степень получается заданная правая часть.

Типичные ошибки

Первая ошибка — использовать только один аргумент z и не добавлять 2πk. Тогда обычно находится лишь один корень, хотя у ненулевого числа их n. Проверяйте себя: в формуле должны присутствовать все k от 0 до n − 1.

Иногда k берут от 1 до n. При таком выборе один корень может повториться, а корень, соответствующий k = 0, будет пропущен. Надёжное правило: начинать с нуля и заканчивать числом n − 1.

Нельзя извлекать корень только из модуля или только из аргумента. Нужно взять ⁿ√|z| и одновременно разделить каждый аргумент φ + 2πk на n. После вычислений проверьте и модуль, и аргумент возведением результата в n-ю степень.

У нуля не бывает n различных корней. Уравнение wⁿ = 0 означает, что модуль wⁿ равен нулю, а значит, |w| = 0 и w = 0. Если в решении появились разные ненулевые точки, ошибка возникла из-за применения формулы для z ≠ 0.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужны действия с комплексными числами, понятия модуля и аргумента, а также тригонометрическая форма записи. Без них трудно определить радиус и направления корней. Эти навыки используются на каждом шаге вычислений.

Формула Муавра объясняет, почему при возведении комплексного числа модуль возводится в степень, а аргумент умножается на показатель. Она же позволяет быстро проверять найденные корни. Поэтому извлечение корней является обратной задачей к возведению в степень.

Корни комплексных чисел применяются при решении алгебраических уравнений. Их равномерное расположение на окружности помогает изображать решения и видеть геометрическую структуру множества корней.

Что запомнить

• Корень n-й степени из z — число w, для которого wⁿ = z.
• У нуля есть один корень n-й степени: нуль.
• У ненулевого комплексного числа ровно n корней n-й степени.
• Модуль каждого корня равен ⁿ√|z|.
• Аргументы корней задаются формулой (φ + 2πk)/n.
• Для всех корней берут k = 0, 1, …, n − 1.
• Корни ненулевого числа равномерно расположены на окружности с центром в начале координат.