§ 41. Простые и составные числа

Определения и обозначения

Делителем натурального числа называют натуральное число, на которое это число делится без остатка. Например, 3 является делителем 12, потому что 12 : 3 = 4. По делителям можно исследовать строение числа и определить, простое оно или составное.

Простое число — это натуральное число, большее 1, имеющее ровно два различных делителя: 1 и само число. Например, у числа 13 делители 1 и 13, поэтому оно простое. Такое определение позволяет отличить простые числа от всех остальных чисел, больших 1.

Составное число — натуральное число, большее 1, у которого более двух делителей. Например, 9 делится на 1, 3 и 9, значит, оно составное. У составного числа всегда можно найти делитель, отличный от 1 и самого числа.

Разложение на простые множители — представление числа в виде произведения простых чисел. Например, 18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 3². Такая запись показывает, из каких простых множителей состоит число, и помогает находить его делители, НОД и НОК.

Как это устроено

Чтобы определить вид числа, нужно найти его натуральные делители. У простого числа список заканчивается на 1 и самом числе: например, у 2 это 1 и 2, а у 13 — 1 и 13. Если обнаружился ещё хотя бы один делитель, число уже не простое и является составным.

Число 1 выделяют отдельно, потому что оно имеет только один делитель — 1. Оно не подходит под определение простого числа, требующее ровно два делителя, и не подходит под определение составного, требующее больше двух. Поэтому начинать проверку простоты нужно с чисел, больших 1.

Составное число можно представить произведением меньших натуральных чисел, поскольку у него есть делитель, отличный от 1 и самого числа. Например, 36 = 4 · 9, но 4 и 9 ещё составные, поэтому разложение продолжают: 36 = 2 · 2 · 3 · 3. Процесс заканчивается тогда, когда каждый множитель становится простым.

Удобный способ разложения — последовательно делить число на простые делители. Например, 84 делим на 2, затем получившееся 42 снова на 2, после этого 21 на 3 и затем 7 на 7: 84 = 2 · 2 · 3 · 7. Проверка умножением даёт 2 · 2 · 3 · 7 = 84, значит, разложение выполнено верно.

Разложение на простые множители единственно с точностью до порядка множителей. Это означает, что при разных действиях можно получить записи 60 = 2 · 2 · 3 · 5 и 60 = 5 · 2 · 3 · 2, но набор множителей в них одинаков. Единственность позволяет надёжно сравнивать числа и находить общие простые множители.

Сравнение простых и составных чисел

Сначала проверьте условие на число: сравните его с 1. Затем найдите количество делителей или хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого числа. Строка о произведении помогает дополнительно проверить составность, но основным признаком остаётся количество делителей.

Разбор задач

Задача 1

Определите, какие из чисел 1, 2, 9, 13 являются простыми, составными или не относятся ни к одному из этих видов. Для каждого числа нужно проверить его делители. Число 1 рассматриваем отдельно, потому что оно не больше 1.

1. У числа 1 только один делитель — 1, поэтому оно не простое и не составное.
2. У числа 2 делители 1 и 2, значит, оно простое.
3. У числа 9 есть делители 1, 3 и 9, поэтому оно составное.
4. У числа 13 только делители 1 и 13, значит, оно простое.

Ответ: 2 и 13 — простые числа; 9 — составное; 1 не относится ни к простым, ни к составным.

Задача 2

Разложите число 84 на простые множители. Начинаем с наименьшего простого делителя 2 и после каждого деления проверяем получившееся число. Деление прекращаем, когда частное станет простым.

1. 84 делится на 2: 84 = 2 · 42.
2. 42 снова делится на 2: 42 = 2 · 21.
3. 21 делится на 3: 21 = 3 · 7.
4. Число 7 простое, поэтому дальнейшее разложение не требуется.

Ответ: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 = 2² · 3 · 7. Проверка: 2 · 2 · 3 · 7 = 84, следовательно, множители записаны правильно.

Задача 3

Найдите все натуральные делители числа 180, используя разложение на простые множители. Сначала разложим число: 180 = 2² · 3² · 5. Каждый делитель получается выбором степени 2, степени 3 и степени 5 из доступных вариантов.

1. Для двойки выбираем 2⁰, 2¹ или 2², для тройки — 3⁰, 3¹ или 3², для пятёрки — 5⁰ или 5¹.
2. Перемножаем все допустимые комбинации и не повторяем одинаковые результаты.
3. Получаем делители: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.

Ответ: всего 18 натуральных делителей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.

Типичные ошибки

Некоторые называют число 1 простым, потому что оно делится только на себя. Ошибка возникает из-за пропуска условия о ровно двух делителях: у 1 делитель только один. Проверяйте не только факт деления, но и количество различных делителей.

Иногда число считают составным только потому, что оно чётное. Но 2 — чётное простое число, ведь его делители только 1 и 2. Перед выводом о составности найдите хотя бы один дополнительный делитель, а не опирайтесь на один признак.

Разложение могут записать как 84 = 7 · 12 и остановиться. Однако 12 — составной множитель, поэтому такая запись ещё не является разложением на простые множители. Разложение завершено только тогда, когда каждый множитель прост.

Можно проверить только 1 и само число и сразу назвать число простым. Так ошибочно получают неверный вывод для 15, 21 или 25. Ищите возможные промежуточные делители, например 3, 5 или 7, и проверяйте делимость.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны навыки деления натуральных чисел с остатком и знание признаков делимости. Они позволяют быстрее находить делители и решать, на какие простые числа делится данное число.

Разложение на простые множители используется при нахождении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Общие простые множители помогают сравнивать числа и выполнять вычисления короче.

Понятия простого и составного числа нужны при сокращении дробей и исследовании делимости. Разложив числитель и знаменатель на простые множители, легче увидеть общие множители и сократить дробь.

Что запомнить

• Простое число больше 1 и имеет ровно два натуральных делителя.
• Составное число больше 1 и имеет более двух натуральных делителей.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Число 2 — единственное чётное простое число.
• В разложении на простые множители каждый множитель должен быть простым числом.
• Разложение числа на простые множители единственно с точностью до порядка множителей.