"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Деление с остатком позволяет представить делимое как произведение делителя на частное плюс часть, которая не вошла в это произведение: a = bq + r. Для целых чисел остаток неотрицателен и меньше модуля делителя, а для многочленов его степень меньше степени делителя. Такая запись помогает проверить результат деления, выяснить, делится ли выражение нацело, и разлагать многочлены на множители.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делимое — число или многочлен, который требуется разделить. В записи a = bq + r делимое обозначено буквой a. Именно его нужно представить в виде произведения и остатка, поэтому важно не перепутать его с делителем или частным.
Делитель — число или многочлен, на который выполняется деление. В равенстве a = bq + r это b, причём b ≠ 0. Делитель задаёт, на какие части мы разбиваем делимое, а запрет нуля нужен потому, что деление на ноль не определено.
Частное — результат деления, входящий в разложение делимого. В записи a = bq + r частное обозначено q: произведение bq показывает, какая часть делимого объясняется делением нацело. Для чисел частное обычно целое, а при делении многочленов оно является многочленом.
Остаток — часть делимого, не вошедшая в частное. Для целых чисел он неотрицателен и меньше модуля делителя, а для многочленов его степень меньше степени делителя. Это условие помогает определить, что деление действительно завершено, и проверить полученный результат.
Деление с остатком записывают равенством a = bq + r: делимое равно произведению делителя и частного плюс остаток. Такая форма нужна, чтобы отделить ту часть делимого, которая составила целое число групп по b, от того, что в группы не вошло. Например, запись 157 = 12 · 13 + 1 показывает и частное, и оставшуюся единицу. Поэтому результат удобно проверять обратным действием — умножением и сложением.
Остаток должен быть меньше модуля делителя, иначе выбранное частное ещё не окончательное. Если, например, остаток при делении на 12 равен 13, из него можно выделить ещё одну группу из 12: частное увеличится на единицу, а остаток станет равен 1. Так деление продолжается, пока остаток не окажется меньше делителя. Для отрицательного делителя условие формулируют через его модуль, чтобы остаток оставался неотрицательным.
При делении многочленов столбиком начинают со старших членов — слагаемых наибольших степеней. Старший член делимого делят на старший член делителя и получают очередной член частного. Затем этот член умножают на весь делитель и вычитают произведение из текущего делимого. Такой порядок выбран потому, что он убирает старшую степень и позволяет шаг за шагом уменьшать степень остатка.
Деление многочленов обязательно заканчивается, потому что после вычитания старшие члены сокращаются. Следовательно, степень нового ненулевого остатка становится меньше, чем была до шага. Степень — целое неотрицательное число, и она не может уменьшаться бесконечно. Когда она станет меньше степени делителя, следующий член частного уже нельзя получить делением старших членов, и алгоритм останавливают.
Деление называют выполненным без остатка, если в равенстве a = bq + r остаток r равен нулю. Тогда делимое совпадает с произведением делителя и частного: a = bq. Значит, делитель является множителем делимого, а частное — другим множителем. Это свойство позволяет использовать деление для разложения многочлена на множители и проверки делимости.
| Элемент | Обозначение | Роль в равенстве | Основное условие |
|---|---|---|---|
| Делимое | a | Выражение, которое делят | Входит в равенство a = bq + r |
| Делитель | b | Множитель частного | b ≠ 0 |
| Частное | q | Входит в произведение bq | Вместе с остатком восстанавливает делимое |
| Остаток | r | Добавляется к произведению bq | Для чисел: 0 ≤ r < |b|; для многочленов: степень r меньше степени b |
| Основное равенство a = bq + r | a, b, q, r | Связывает все части деления | Делитель не равен нулю |
| Деление без остатка | r = 0 | Делимое равно произведению bq | Делитель является множителем делимого |
Чтобы прочитать запись, сначала найди делимое и делитель, затем определи частное и остаток. Проверь основное равенство умножением и сложением, а после этого — условие на остаток. У многочленов вместо сравнения величин проверяют степени.
Задача 1. Разделить 157 на 12 с остатком и выполнить проверку.
Ответ: 157 : 12 = 13 (ост. 1).
Задача 2. Разделить 2x³ − 3x² + 4x − 5 на x − 2.
Ответ: частное 2x² + x + 6, остаток 7. Проверка: (x − 2)(2x² + x + 6) + 7 = 2x³ − 3x² + 4x − 5.
Задача 3. Разделить x⁴ − 2x³ + 3x² − x + 4 на x² − x + 1.
Ответ: P(x) = (x² − x + 1)(x² − x + 1) + x + 3. Здесь частное равно x² − x + 1, остаток — x + 3.
Иногда деление останавливают слишком рано и записывают остаток, равный делителю или больший него. Обычно это происходит, когда считают достаточным само вычитание одного произведения. Продолжи деление, пока условие на остаток не выполнится; для чисел сравни его с модулем делителя, для многочленов — степени.
При делении многочленов можно ошибочно делить произвольные слагаемые, а не старшие члены. Тогда нарушается порядок шагов, и старшая степень не сокращается так, как требуется. Начинай каждый шаг со старших членов и проверяй, что после вычитания их разность исчезла.
Если в многочлене нет промежуточной степени, её иногда просто пропускают и из-за этого неверно складывают коэффициенты. Например, в x⁴ + 2x − 1 отсутствуют x³ и x², поэтому удобно записать x⁴ + 0x³ + 0x² + 2x − 1. При проверке выравнивай слагаемые по степеням: коэффициенты при x³ нельзя складывать с коэффициентами при x².
Ещё одна ошибка — не проверять равенство a = bq + r и пропускать неверный знак. Такое случается, если вычитание произведения заменяют сложением или теряют минус перед слагаемым. Подставь найденные частное и остаток в равенство, раскрой скобки и сравни результат с исходным делимым; отдельно проверь допустимость остатка.
Для деления с остатком нужны навыки действий с целыми числами и многочленами, приведения подобных слагаемых и определения степени многочлена. Деление помогает разлагать многочлены на множители и проверять, делится ли многочлен на двучлен без остатка. Позже тот же приём пригодится при изучении корней многочлена, теоремы Безу и решении уравнений высших степеней: деление позволяет упростить выражение и выделить множители.
Почему остаток должен быть меньше делителя?
Если остаток не меньше модуля делителя, из него можно выделить ещё одно целое число делителей и увеличить частное. Поэтому деление не закончено. Для многочленов аналогично: если степень остатка не меньше степени делителя, можно выполнить следующий шаг.
Может ли остаток при делении многочленов быть числом?
Да, например, при делении на многочлен первой степени остатком может быть число или ноль. Это допустимо, потому что степень ненулевого числового остатка равна нулю, а она меньше первой степени делителя.
Как понять, когда прекращать деление многочленов?
Нужно остановиться, когда остаток равен нулю или его степень стала меньше степени делителя. В первом случае деление выполнено без остатка, во втором дальнейший шаг алгоритма невозможен.
Что делать, если в многочлене отсутствует промежуточная степень?
Запиши пропущенный член с коэффициентом 0, например x⁴ + 2x − 1 = x⁴ + 0x³ + 0x² + 2x − 1. Нулевой коэффициент помогает правильно сопоставлять слагаемые одинаковых степеней при вычитании.
Как проверить, правильно ли выполнено деление с остатком?
Умножь делитель на полученное частное и прибавь остаток. Должно получиться исходное делимое. Дополнительно проверь условие на остаток: для целых чисел 0 ≤ r < |b|, а для многочленов степень остатка меньше степени делителя.
§ 42. Деление с остатком
