"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Деление с остатком помогает разделить натуральное число на равные группы, когда предметы нельзя распределить без остатка. Делимое представляют в виде a = bq + r: b — делитель, q — неполное частное, r — остаток. Неполное частное показывает число полных групп, а остаток — то, что осталось. Главное условие: 0 ≤ r < b. Если r = 0, деление выполняется нацело.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление с остатком — это представление делимого a в виде a = bq + r, где b — натуральный делитель, q — неполное частное, а r — остаток. Например, при делении предметов на равные группы часть предметов образует полные группы, а оставшиеся записываются отдельно. Такая запись показывает сразу и число полных групп, и то, что не удалось распределить.
Неполное частное — число q, показывающее, сколько раз делитель b содержится в делимом a без превышения. Иначе говоря, это наибольшее число полных групп по b предметов, которые можно составить. Оно нужно, чтобы отличать полные группы от того, что останется после распределения.
Остаток — число r, которое остаётся после выделения из делимого полного числа групп величиной b. Он удовлетворяет условию 0 ≤ r < b: остаток неотрицателен и меньше делителя. Благодаря этому условию запись действительно показывает все возможные полные группы, а не оставшуюся неполную группу, которую можно было бы дополнить.
Деление нацело — частный случай деления с остатком, когда остаток равен нулю. Тогда a = bq, и делимое состоит только из полных групп по b. Это понятие помогает распознать случаи, когда предметы или числа делятся без остатка.
Представим делимое a как количество предметов, которые нужно разложить по группам по b предметов. Сначала составляют столько полных групп, сколько возможно, не превышая исходное количество. Если таких групп q, то в них окажется bq предметов, а остальные r предметов не образуют ещё одну полную группу. Поэтому всё делимое складывается из предметов в группах и оставшейся части: a = bq + r.
Остаток не может быть отрицательным, потому что число выделенных в полные группы предметов bq не превосходит делимое a. Значит, при вычислении r = a − bq вычитают меньшее или равное число из большего или равного. Остаток не может быть и равен делителю или больше него: если r ≥ b, из оставшихся предметов получится ещё одна полная группа. Тогда прежнее q было не наибольшим возможным.
Для одних и тех же делимого и делителя неполное частное и остаток определяются однозначно. Неполное частное должно быть наибольшим числом, при котором bq ≤ a, поэтому нельзя выбрать два разных подходящих значения q. А когда q уже найдено, остаток строго задаётся равенством r = a − bq. Если изменить q, равенство может сохраниться с другим r, но условие 0 ≤ r < b тогда не будет выполнено одновременно.
Чтобы найти неполное частное, подбирают наибольшее q, для которого произведение bq не превышает a. Можно воспользоваться таблицей умножения, подобрать кратные делителя или выполнить деление. После этого находят остаток вычитанием: r = a − bq. Например, если известно, что 5 · 7 ≤ 37, а 5 · 8 > 37, то q = 7 — наибольшее подходящее число.
Проверка состоит из двух частей, потому что одного равенства недостаточно: разные числа могут случайно дать сумму a. Сначала подставляют найденные значения и проверяют, что a = bq + r. Затем проверяют условие 0 ≤ r < b. Если обе проверки прошли, получены верные неполное частное и остаток.
| Элемент | Обозначение | Что означает или какое условие выполняет |
|---|---|---|
| Делимое | a | Число, которое делят |
| Делитель | b | Натуральное число, на которое делят; b ≠ 0 |
| Неполное частное | q | Наибольшее число полных групп по b в числе a |
| Остаток | r | Часть делимого, оставшаяся после выделения полных групп |
| Связь между элементами | a = bq + r | Делимое равно произведению делителя и неполного частного плюс остаток |
| Условие на остаток | 0 ≤ r < b | Остаток неотрицателен и меньше делителя |
Найдите в таблице обозначение каждого числа, а затем проверьте, выполняются ли равенство и условие на остаток. Если остаток оказался не меньше делителя, неполное частное выбрано неверно.
Нужно определить, сколько полных пятёрок помещается в 37, не превышая это число. Удобно сравнить соседние кратные пяти: 5 · 7 = 35, а 5 · 8 = 40. Второе произведение уже больше 37, поэтому семь — наибольшее подходящее неполное частное.
Ответ: неполное частное равно 7, остаток равен 2.
Ищем наибольшее кратное 12, которое не превосходит 248. При делении или подборе получаем 12 · 20 = 240, а следующее кратное 12 · 21 = 252 уже больше делимого. Значит, полных групп двадцать, а остаток найдём вычитанием.
Обе проверки выполнены. Ответ: неполное частное равно 20, остаток равен 8.
Каждая полная пачка содержит 12 тетрадей, поэтому нужно разделить 157 на 12 с остатком. Неполное частное укажет число полных пачек, а остаток — число тетрадей, которые в них не вошли. Сначала проверим подходящие кратные 12.
Ответ: получится 13 полных пачек, останется 1 тетрадь.
Иногда записывают остаток, равный делителю или больший него. Так бывает, если остановиться до выделения всех полных групп и принять оставшуюся часть за остаток. Проверьте условие r < b: если оно нарушено, прибавьте к неполному частному ещё одну группу и пересчитайте остаток.
Неполное частное могут принять за результат точного деления и забыть остаток. Ошибка возникает, когда используют только привычное действие деления и не записывают часть, которая не вошла в полные группы. Проверяйте ответ по равенству a = bq + r, а не только по значению q.
Запись только частного и остатка без проверки не показывает, верно ли найдены оба числа. Например, можно ошибиться в вычитании или выбрать не самое большое кратное делителя. Подставьте значения в равенство и отдельно убедитесь, что остаток меньше делителя.
Если вычесть делимое из произведения или выбрать произведение больше делимого, получится отрицательный остаток. Обычно это происходит из-за неверного порядка вычитания или слишком большого q. Сначала убедитесь, что bq ≤ a, затем вычислите именно r = a − bq и проверьте, что r ≥ 0.
Перед изучением темы пригодятся таблица умножения, деление и понятие кратного числа. Кратные помогают быстро найти наибольшее произведение bq, которое не превосходит делимое. Умение сравнивать произведения нужно и для последующей проверки результата.
Деление с остатком применяется при разложении чисел на множители и поиске делителей: остаток показывает, делится ли число нацело. Оно также помогает решать практические задачи о распределении предметов по равным группам. В таких задачах неполное частное и остаток получают понятный смысл.
Эта тема связана с признаками делимости и делением натуральных чисел. Если число делится нацело, его остаток равен нулю; признаки делимости помогают быстро распознать такие случаи. Позже те же представления пригодятся при изучении свойств натуральных чисел.
Чем неполное частное отличается от обычного частного?
При делении нацело частное умножают на делитель, и получается делимое. Неполное частное показывает число полных групп, которые можно составить, а оставшаяся часть записывается отдельно как остаток.
Почему остаток обязательно должен быть меньше делителя?
Если остаток не меньше делителя, из него можно выделить ещё одну полную группу. Тогда неполное частное нужно увеличить на 1, а остаток пересчитать.
Может ли остаток быть равен нулю?
Да. Это означает, что делимое разделилось на делитель без остатка, то есть деление выполнено нацело.
Как быстро проверить деление с остатком?
Умножьте делитель на неполное частное и прибавьте остаток: должно получиться делимое. Затем проверьте, что остаток неотрицателен и меньше делителя.
Что делать, если найденный остаток оказался больше делителя?
Увеличьте неполное частное на столько, сколько дополнительных полных групп можно выделить из остатка. Затем снова вычтите из делимого произведение делителя на новое частное и проверьте условие 0 ≤ r < b.
2.1.3. Деление с остатком
