"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Деление с остатком позволяет представить многочлен как сумму произведения делителя на частное и остатка: f(x) = g(x)q(x) + r(x). Степень остатка должна быть меньше степени делителя, а частное и остаток определяются единственным образом. При делении на линейный двучлен x − a остаток можно найти подстановкой: он равен f(a). Эти правила помогают выполнять деление, проверять, делится ли многочлен нацело, и находить его корни.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен-делимое — многочлен, который представляют как сумму произведения делителя на частное и остатка. Обычно его обозначают f(x); именно его раскладывают на две части, чтобы описать результат деления.
Многочлен-делитель — ненулевой многочлен, на который делят. Его степень задаёт границу для степени остатка, поэтому по ней можно понять, завершено ли деление.
Неполное частное — многочлен q(x), который умножают на делитель, получая основную часть делимого. Оно называется неполным, потому что произведение g(x)q(x) может не совпасть с делимым.
Остаток — многочлен r(x), степень которого меньше степени делителя, либо нулевой многочлен. Он показывает, какая часть делимого не вошла в произведение делителя и частного; нулевой остаток означает деление нацело.
Результат деления многочлена f(x) на ненулевой многочлен g(x) записывают равенством f(x) = g(x)q(x) + r(x), где q(x) — частное, а r(x) — остаток. Такое представление похоже на деление чисел с остатком: делимое состоит из части, кратной делителю, и того, что не удалось разделить. Для многочленов дополнительно следят за степенью остатка. Она должна быть меньше степени делителя.
Чтобы найти частное, сначала делят старший член делимого на старший член делителя. Так выбирают член частного, который при умножении на делитель уничтожит старший член делимого. Затем произведение вычитают, поскольку цель — убрать уже учтённую часть и перейти к оставшимся членам. Если умножение не устраняет старший член, значит, при делении или вычитании допущена ошибка.
После вычитания степень оставшегося многочлена становится меньше: его старший член исчезает, а новые члены имеют меньшие степени. Поэтому на следующем шаге рассматривают уже более низкую степень. Степени не могут уменьшаться бесконечно, значит, алгоритм обязательно завершается. Останавливаются не при первом ненулевом остатке, а когда степень остатка становится меньше степени делителя.
Частное и остаток единственны, потому что два разных результата не могут одновременно удовлетворять условию на остаток. Если записать два разложения одного многочлена и вычесть их, разность произведений делителя на частные окажется равной разности остатков. Ненулевая разность произведений делится на делитель и имеет степень не меньше степени делителя, тогда как разность остатков имеет меньшую степень. Это противоречие возможно только при совпадении частных и остатков.
Если делитель равен x − a, в равенстве f(x) = (x − a)q(x) + r(x) подставляют x = a. Множитель a − a обращается в ноль, поэтому остаётся f(a) = r(a). Остаток при делении на линейный двучлен — число, значит, r(a) равно самому остатку. Так получают теорему об остатке: остаток равен значению делимого при x = a.
| Что рассматриваем | Делитель g(x) | Остаток | Как найти остаток |
|---|---|---|---|
| Общий случай | Ненулевой многочлен g(x) | Нулевой или степени меньше степени g(x) | Выполнить деление и остановиться при допустимой степени остатка |
| Линейный двучлен x − a | x − a | Число f(a) | Подставить a в делимое f(x) |
| Деление без остатка | Ненулевой многочлен g(x) | 0 | Проверить равенство f(x) = g(x)q(x) |
| Проверка результата | Тот же делитель g(x) | Найденный r(x) | Вычислить g(x)q(x) + r(x) и сравнить с f(x) |
Сначала определите вид делителя и степень, которую может иметь остаток. Для делителя x − a вместо полного деления часто достаточно вычислить f(a). После нахождения частного проверьте результат обратным действием.
Задача 1. Разделить x³ + 2x² − x + 3 на x + 1 и записать частное и остаток. Делитель имеет степень 1, поэтому в конце остаток должен быть числом. Последовательно устраняем старшие члены делимого, каждый раз умножая делитель на найденный член частного.
Соберём найденные члены частного: q(x) = x² + x − 2, а остаток равен 5. Проверка: (x + 1)(x² + x − 2) + 5 = x³ + 2x² − x + 3. Ответ: частное x² + x − 2, остаток 5.
Задача 2. Найти остаток от деления f(x) = 2x⁴ − 3x² + 5 на x − 2. Делитель имеет вид x − a, где a = 2. По теореме об остатке можно заменить деление подстановкой: вычислим f(2), аккуратно возведя 2 в нужные степени.
Полученное значение является остатком, потому что при подстановке x = 2 множитель x − 2 обращается в ноль. Полное деление для нахождения остатка не требуется. Ответ: 25.
Задача 3. Определить, делится ли x³ − 4x² + x + 6 на x − 2, и при положительном ответе найти частное. Сначала проверим остаток: если f(2) = 0, деление будет нацело. Затем найдём частное последовательным делением, чтобы записать результат полностью.
Члены частного равны x², −2x и −3, а нулевой остаток подтверждает деление нацело. Ответ: делится, частное x² − 2x − 3.
Останавливаются, когда остаток просто не равен нулю. Так поступают, считая деление оконченным при первом неудобном результате. Но ненулевой остаток может иметь старшую степень, и тогда деление продолжается. Проверьте степень остатка: она должна быть строго меньше степени делителя.
Не меняют знаки при вычитании произведения. Ошибка возникает, если вычитают только часть выражения или мысленно складывают его с остатком. При вычитании нужно заключить произведение в скобки и поменять знак у каждого его члена. Проверка — раскрыть скобки, выполнить вычитание и убедиться, что старший член действительно исчез.
Путают делители x − a и x + a. Причина — невнимание к знаку числа, которое обращает делитель в ноль. Для x − a подставляют a, а для x + a — −a. Подставленное значение должно сделать сам делитель равным нулю.
Допускают остаток той же степени, что и делитель. Такой результат не соответствует определению деления с остатком: старший член ещё можно разделить на старший член делителя. Продолжите алгоритм и вычтите полученное произведение. В конце сравните степени; допустим только нулевой остаток или остаток меньшей степени.
Для деления многочленов нужны умения находить степени, приводить подобные члены и выполнять действия с многочленами. Деление с остатком затем помогает разлагать многочлены на множители и искать корни уравнений: нулевой остаток при делении на x − a означает, что это линейный множитель. Теорема об остатке связывает подстановку значения переменной с результатом деления на линейный двучлен. Утверждение о делимости на x − a является содержанием теоремы Безу.
Почему остаток должен иметь степень меньше степени делителя?
Если степень остатка не меньше степени делителя, его старший член можно разделить на старший член делителя и продолжить деление. Процесс заканчивают только тогда, когда дальнейшее вычитание уже невозможно.
Как проверить результат деления многочленов?
Умножьте делитель на частное и прибавьте остаток. Должен получиться исходный многочлен, а степень ненулевого остатка должна быть меньше степени делителя.
Как найти остаток, не выполняя деление полностью?
Если делитель имеет вид x − a, воспользуйтесь теоремой об остатке и вычислите f(a). Полученное число и будет остатком.
Какое число нужно подставить при делении на x + a?
Представьте делитель как x − (−a). Поэтому нужно подставить число −a и вычислить f(−a).
Что означает нулевой остаток?
Это означает, что многочлен делится на данный делитель нацело. Тогда f(x) = g(x)q(x), и остаток в записи равен нулю.
§ 2. Деление с остатком
