"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Признаки делимости — короткие правила, которые помогают выяснить, делится ли целое число на заданное число, не выполняя деление. Они опираются на десятичную запись: разряды числа связаны с числами 10, 100 и 1000, а сумму или части числа удобно проверять по остаткам. По последним цифрам проверяют делимость на 2, 5, 10, 4, 25, 8 и 125; по сумме цифр — на 3 и 9; по чередующимся суммам — на 11.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Целое число a делится нацело на ненулевое целое число b, если существует целое число k, для которого a = bk; при этом остаток равен нулю. Например, 24 делится на 6, потому что 24 = 6 · 4. Это определение помогает отличить точное деление от деления с остатком.
Признак делимости — правило, позволяющее определить, делится ли число на заданный делитель, не выполняя само деление. Например, по последней цифре можно быстро проверить делимость на 10. Такие правила экономят время и снижают риск ошибки в вычислениях.
Остаток от деления — число, которое остаётся после деления с остатком. При делении на положительное число b остаток неотрицателен и меньше b: например, при делении 17 на 5 получаем остаток 2. Остатки нужны, чтобы объяснить, почему признаки делимости работают.
Десятичная запись числа — представление числа с помощью цифр, каждая из которых занимает определённый разряд. Например, 438 = 4 · 100 + 3 · 10 + 8. Разложение по разрядам показывает, какие части числа кратны выбранному делителю.
Чтобы понять признаки делимости, число раскладывают по разрядам: единицам, десяткам, сотням и далее. Например, 438 = 4 · 100 + 3 · 10 + 8. Если разрядная часть делится на выбранное число, её остаток равен нулю; поэтому иногда достаточно проверить только оставшуюся часть. Так связаны десятичная запись и остатки при делении.
Число можно записать как число десятков, умноженное на 10, плюс последняя цифра. Для делителей 2, 5 и 10 часть с десятками кратна каждому из них, поэтому делимость зависит только от последней цифры. Она должна быть чётной для 2, равняться 0 или 5 для 5 и быть равной 0 для 10. Например, 7380 оканчивается на 0, значит, подходит сразу для всех трёх признаков.
Для проверки делимости на 4 или 25 отделяют последние две цифры. Все остальные разряды образуют число, умноженное на 100, а 100 делится и на 4, и на 25. Поэтому эта часть не меняет остаток: достаточно проверить число из двух последних цифр. Например, для 1725 проверка на 25 сводится к проверке 25.
Для 8 и 125 используют последние три цифры: число раскладывается на часть, кратную 1000, и окончание из трёх цифр. Так как 1000 делится на 8 и на 125, остаток определяется только окончанием. Например, у числа 4582176 нужно проверить 176 для делимости на 8, но окончание 176 не подходит для проверки на 125 без отдельного деления.
В записи числа каждую цифру можно представить как слагаемое, умноженное на степень 10. При делении на 3 или 9 степени 10 дают остаток 1, поэтому остаток числа совпадает с остатком суммы его цифр. Для 11 остатки степеней 10 чередуются: 1, −1, 1, −1 и так далее. Значит, проверяют разность сумм цифр на чередующихся местах; если она делится на 11, делится и исходное число.
В таблице собраны признаки и примеры того, что именно нужно проверять. В строках для 2, 5 и 10 приведены подходящие окончания, а для остальных делителей — окончания или суммы, которые проходят проверку. Сначала выберите делитель, затем проверяйте только указанную часть числа.
| Делитель | Признак делимости | Пример |
|---|---|---|
| 2, 5, 10 | Проверка последней цифры | 7380 делится на 2, 5 и 10 |
| 4, 25 | Проверка числа, образованного двумя последними цифрами | 1725 делится на 25, так как 25 делится на 25 |
| 8, 125 | Проверка числа, образованного тремя последними цифрами | 4582176 делится на 8, так как 176 делится на 8 |
| 3, 9 | Проверка суммы цифр | 17325 делится на 3, так как 1 + 7 + 3 + 2 + 5 = 18 |
| 11 | Проверка разности сумм цифр на чередующихся местах | 121 делится на 11: (1 + 1) − 2 = 0 |
Нужно проверить три делителя, не выполняя деление столбиком. Во всех случаях признак зависит от последней цифры, поэтому достаточно посмотреть на окончание числа. У 7380 последняя цифра — 0.
Ответ: 7380 делится на 2, 5 и 10. Одна проверка последней цифры позволяет применить сразу три признака, но критерий для каждого делителя нужно назвать отдельно.
Здесь используются два разных способа проверки. Для 3 и 9 складывают все цифры, а для 25 рассматривают две последние цифры. Это позволяет не путать признаки, даже когда число проверяют на несколько делителей подряд.
Ответ: 17 325 делится на 3, 9 и 25. Если сумма цифр получилась большой, можно проверить её делимость отдельно или продолжить складывать цифры.
Для каждого делителя выделим нужную часть записи. На 8 проверяют три последние цифры, а на 11 — разность сумм цифр на чередующихся местах. Такое разделение шагов помогает не использовать окончание из трёх цифр вместо суммы цифр или наоборот.
Ответ: 4 582 176 делится на 8, но не делится на 11. Для проверки на 11 можно начать с любого края: смена порядка групп изменит знак разности, но не вывод о делимости.
При проверке делимости на 4 или 25 иногда смотрят только на последнюю цифру. Так ошибаются, потому что переносят правила для 2, 5 и 10 на другие делители; например, окончание 6 само по себе ничего не доказывает о делимости на 4. Нужно выписать две последние цифры и проверить полученное число.
Для 8 или 125 нельзя ограничиваться двумя последними цифрами: важны три. Ошибка возникает из-за сходства признаков для 4 и 25, где достаточно двух разрядов. Самопроверка простая: вспомните число 1000 и убедитесь, что оно делится на выбранный делитель.
Делимость на 3 и 9 определяют не по последней цифре, а по сумме всех цифр. Последнее окончание может выглядеть подходящим, но ничего не говорит о сумме разрядов числа. Чтобы проверить себя, сложите цифры, не пропуская ни одной, а затем проверьте сумму на нужный делитель.
В признаке для 11 нельзя складывать все цифры одной общей суммой или забывать чередование мест. Тогда вместо нужной разности получится другая величина и вывод может оказаться неверным. Разбейте цифры на две чередующиеся группы, сложите каждую отдельно и вычтите одну сумму из другой.
Для понимания признаков нужны десятичная запись числа, разрядный состав и деление с остатком: именно они объясняют, почему можно отбросить разряды или сложить цифры. В дальнейшем эти правила помогают сокращать дроби и выяснять, является ли число простым или составным. Они также упрощают разложение целых чисел на простые множители и поиск НОД и НОК.
Почему для проверки делимости на 4 достаточно двух последних цифр?
Число можно представить как сумму числа, составленного из последних двух цифр, и числа, кратного 100. Поскольку 100 делится на 4, первая часть не влияет на остаток при делении на 4. Поэтому достаточно проверить окончание из двух цифр.
Как проверить делимость на 8, если число содержит много цифр?
Отделите три последние цифры и проверьте полученное число: оно должно делиться на 8. Остальная часть исходного числа умножена на 1000, а 1000 делится на 8, поэтому она не меняет результат проверки.
Нужно ли повторно складывать цифры, если сумма цифр получилась большой?
Нет, для признака делимости на 3 или 9 достаточно проверить, делится ли на 3 или 9 вся сумма цифр. Можно складывать цифры полученной суммы дальше, чтобы упростить вычисления, но это необязательно.
Как определить, с какого места начинать чередование при проверке делимости на 11?
Начинать можно с любой стороны, если затем строго чередовать места. При смене начальной стороны суммы просто поменяются местами, поэтому изменится лишь знак разности, а делимость на 11 останется той же.
Можно ли применить несколько признаков делимости к одному числу?
Да, признаки не мешают друг другу: одно число можно проверить по последней цифре, сумме цифр и окончанию из нескольких цифр. Например, так можно выяснить, делится ли число сразу на 3 и на 10.
§ 3. Признаки делимости
