§ 29. Признаки делимости

Определения и обозначения

Число делится на другое нацело, если при делении получается натуральное частное и остатка нет. Это можно записать так: a делится на b, если a = b · n для некоторого натурального n. Например, 24 = 6 · 4, значит, 24 делится на 6. Такая запись помогает выразить делимость через умножение.

Делитель числа — это число, на которое данное число делится нацело. Например, 4 — делитель 20, потому что 20 : 4 = 5. Иначе говоря, при делении частное должно быть натуральным числом, а остаток — нулём. Это понятие нужно, чтобы говорить, на какие числа делится данное число.

Кратное числа получают, умножая его на натуральный множитель. Например, 18 — кратное 6, так как 18 = 6 · 3. Число 6 при этом является делителем 18. Понимание этой связи помогает проверять делимость, не выполняя деление.

Признак делимости — правило, по которому можно определить делимость числа, не находя частное. Например, если последняя цифра числа чётная, число делится на 2. Признаки используют особенности записи числа и его разрядов. Они полезны, когда нужно быстро проверить вычисления или решить задачу с несколькими условиями.

Как это устроено

Десятичная запись показывает число как сумму разрядных слагаемых: единиц, десятков, сотен и так далее. Например, 4387 = 4 · 1000 + 3 · 100 + 8 · 10 + 7. Каждая цифра умножается на соответствующую степень числа 10. Если часть такого разложения заведомо делится на нужное число, при проверке остатка её можно не учитывать.

Числа 10, 100, 1000 и другие степени десяти делятся на 2, 5 и 10. Поэтому десятки и все более крупные разряды не меняют остаток при делении на эти числа. Остаётся проверить единицы — последнюю цифру. Отсюда следуют правила: на 2 делятся числа с чётной последней цифрой, на 5 — с цифрой 0 или 5, на 10 — с цифрой 0.

Для делимости на 4 удобно отделить последние две цифры: всё, что левее, образует число, кратное 100, а 100 делится на 4. Значит, достаточно проверить остаток от последних двух цифр. Аналогично, 1000 делится на 8, поэтому при проверке на 8 можно отбросить все разряды левее последних трёх. Например, у числа 12 416 проверяют число 416, а не только цифру 6.

Для признаков на 3 и 9 используется разложение по разрядам и то, что любая степень десяти при делении на 3 или 9 даёт остаток 1. Например, 100 = 99 + 1, поэтому сотни дают тот же остаток, что и соответствующие цифры. В итоге остаток всего числа совпадает с остатком суммы его цифр. Следовательно, число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда на то же число делится сумма цифр.

Если требуется делимость сразу на несколько чисел, признаки применяют один за другим. Каждый отвечает только за своё условие, поэтому успех одной проверки не заменяет остальные. Например, для делимости на 3 и 8 отдельно проверяют сумму цифр и последние три цифры. Совместная делимость есть только тогда, когда выполнены оба условия.

Основные признаки делимости натуральных чисел

Сначала определите, на какое число нужно проверить делимость, затем найдите указанную в таблице часть записи или сумму цифр. Если проверок несколько, выполните каждую из них отдельно. Таблица позволяет быстро выбрать нужный признак, но не заменяет саму проверку.

Разбор задач

Задача 1. Определить, делится ли число 4875 на 3, 5, 9 и 10, не выполняя деление столбиком. Проверим условия по отдельности, чтобы не пропустить ни одно из них.

1. Последняя цифра числа — 5, поэтому 4875 делится на 5.
2. Сумма цифр равна 4 + 8 + 7 + 5 = 24. Число 24 делится на 3, но не делится на 9, значит, 4875 делится на 3, но не на 9.
3. Последняя цифра не равна 0, поэтому на 10 число не делится.

Ответ: делится на 3 и 5; не делится на 9 и 10.

Задача 2. Найти все цифры a, при которых число 3a72 делится одновременно на 3 и на 8. Начнём с признака на 8, потому что он зависит от последних трёх цифр и сразу ограничивает возможные значения a.

1. Последние три цифры образуют число a72. Его можно записать как 100a + 72. Так как 100 делится на 8, условие сводится к делимости 4a на 8, то есть a должно быть чётным.
2. Сумма цифр числа 3a72 равна 3 + a + 7 + 2 = a + 12. Для делимости на 3 она должна делиться на 3, значит, a должно делиться на 3.
3. Цифры от 0 до 9, одновременно чётные и делящиеся на 3, — 0 и 6.

Ответ: a = 0 или a = 6.

Задача 3. Найти все цифры a и b, при которых число 5a2b делится одновременно на 3, 4 и 5. Сначала совместим признаки, которые ограничивают последнюю цифру, а затем проверим сумму цифр.

1. Для делимости на 5 b равна 0 или 5. Для делимости на 4 число из последних двух цифр, 2b, должно делиться на 4. Из чисел 20 и 25 на 4 делится только 20, поэтому b = 0.
2. Сумма цифр теперь равна 5 + a + 2 + 0 = a + 7. Для делимости на 3 подходят значения суммы 9, 12 или 15 в пределах возможных значений a.
3. Отсюда a + 7 равно 9, 12 или 15, поэтому a равно 2, 5 или 8. При каждом из этих значений выполнены все три признака.

Ответ: (a; b) = (2; 0), (5; 0), (8; 0).

Типичные ошибки

При проверке делимости на 4 или 8 иногда смотрят только на последнюю цифру. Так ошибаются, потому что переносят признаки для 2, 5 и 10 на другие числа. Для 4 нужно проверить последние две цифры, а для 8 — три. Проверьте себя: выпишите нужный фрагмент числа и проверьте делимость именно этого фрагмента.

Ещё одна ошибка — смешивать признаки на 3 и 9: считать, что достаточно любой суммы цифр, кратной одному из этих чисел. Для делимости на 3 сумма должна делиться на 3, а для делимости на 9 — именно на 9. Например, сумма 12 подходит для проверки на 3, но не на 9. Чтобы не ошибиться, сравнивайте сумму с тем делителем, который указан в условии.

Число с последней цифрой 5 иногда ошибочно считают делящимся на 10. Это происходит, когда путают два признака, в которых участвуют цифры 0 и 5. На 5 число делится при последней цифре 0 или 5, а на 10 — только при 0. Перепроверьте последнюю цифру и соотнесите её с точным условием.

При нескольких условиях иногда проверяют только одно из них и уже делают общий вывод. Например, делимость на 3 ещё не означает делимость на 8. Нужно применить каждый соответствующий признак и убедиться, что выполнены все условия одновременно. Удобно записывать проверки отдельными строками и только после этого формулировать ответ.

Связь с другими темами

Для работы с признаками делимости нужно понимать деление с остатком, смысл делителя и кратного, а также разрядный состав десятичного числа. Эти знания объясняют, почему можно проверять только часть записи числа или сумму его цифр. Признаки делимости пригодятся при сокращении дробей, разложении чисел на множители и проверке вычислений. Позже умение раскладывать на множители поможет при работе с многочленами и рациональными выражениями.

Что запомнить

• Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётная.
• Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0 или 5.
• Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0.
• Для делимости на 4 достаточно проверить последние две цифры, а для делимости на 8 — последние три.
• Число делится на 3 тогда и только тогда, когда на 3 делится сумма его цифр.
• Число делится на 9 тогда и только тогда, когда на 9 делится сумма его цифр.
• При одновременной делимости нужно выполнить все соответствующие условия.