§ 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа

Определения и обозначения

Общий делитель двух натуральных чисел — число, на которое каждое из них делится без остатка. Например, 3 является общим делителем 12 и 18. По общим делителям сравнивают, какие части можно выделить в обоих числах.

Наибольший общий делитель, или НОД, — наибольшее натуральное число, являющееся делителем каждого из двух чисел. Его обозначают НОД(a, b). НОД показывает самый большой общий «шаг», на который можно разделить оба числа без остатка.

Наименьшее общее кратное, или НОК, — наименьшее натуральное число, кратное каждому из двух чисел. Обозначение — НОК(a, b). Оно помогает найти первое число, которое может одновременно делиться на оба заданных числа.

Взаимно простые числа — два натуральных числа, НОД которых равен 1. У них может быть много делителей по отдельности, но нет общего делителя, кроме единицы. Поэтому взаимная простота говорит не о простоте каждого числа, а только об их общих делителях.

Как это устроено

Чтобы найти НОД небольших чисел, выписывают их делители и отмечают совпадения. Например, делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12, а делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Общие делители — 1, 2, 3, 6, поэтому НОД(12, 18) = 6: выбираем самый большой из совпавших делителей.

НОК можно искать перечислением кратных. Для 4 получаем 4, 8, 12, 16, 20, 24, а для 6 — 6, 12, 18, 24. Первое совпадение равно 12, значит, НОК(4, 6) = 12; именно первое общее кратное является наименьшим.

Разложение на простые множители сокращает перебор делителей. В НОД должны попасть только множители, которые обеспечивают делимость обоих чисел, поэтому берут общие простые множители. Если один и тот же множитель имеет разные степени, выбирают меньшую: тогда произведение ещё делит оба числа, а большая степень могла бы уже не делить число с меньшей степенью.

Для НОК требуется обратный принцип: число должно делиться и на a, и на b. Поэтому в его разложении оставляют каждый простой множитель, встретившийся хотя бы в одном числе, и берут наибольшую степень. Так в произведении собираются все множители, необходимые для обоих чисел, но без лишних повторов.

НОД и НОК связаны формулой НОД(a, b) · НОК(a, b) = ab. Если известны три величины из этого равенства, четвёртую можно найти делением; например, НОК(a, b) = ab : НОД(a, b). Смысл формулы в том, что общие множители учитываются в НОД один раз, а недостающие множители добавляются в НОК.

Общий делитель, НОД, НОК и взаимная простота

Сначала определите, ищете ли вы число среди делителей или среди кратных. Затем разложите числа на простые множители и примените соответствующее правило из третьего столбца. Для взаимной простоты достаточно проверить отсутствие общих множителей.

Разбор задач

Задача 1

Найдите НОД и НОК чисел 12 и 18, перечислив их делители и кратные. Сначала выпишем делители, затем сравним кратные. Такой способ удобен для небольших чисел.

1. Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12; делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
2. Общие делители: 1, 2, 3, 6. Наибольший из них — 6, поэтому НОД(12, 18) = 6.
3. Кратные 12: 12, 24, 36, 48; кратные 18: 18, 36, 54. Первое общее кратное — 36.

Ответ: НОД(12, 18) = 6, НОК(12, 18) = 36. Проверка: 6 · 36 = 216, и 12 · 18 = 216.

Задача 2

Найдите НОД и НОК чисел 84 и 126 по разложениям на простые множители. Разложим оба числа и сравним степени одинаковых простых множителей. Это позволит сразу выбрать нужные множители.

1. 84 = 2² · 3 · 7, а 126 = 2 · 3² · 7.
2. Для НОД берём общие множители 2, 3 и 7 в меньших степенях: НОД = 2 · 3 · 7 = 42.
3. Для НОК берём 2², 3² и 7: НОК = 2² · 3² · 7 = 252.

Ответ: НОД(84, 126) = 42, НОК(84, 126) = 252. Проверка по формуле: 42 · 252 = 10584, а 84 · 126 = 10584.

Задача 3

НОД двух натуральных чисел равен 6, а их произведение равно 5400. Найдите НОК и объясните, могут ли числа быть взаимно простыми. Здесь не требуется восстанавливать сами числа, потому что для НОК достаточно данных величин.

1. Используем формулу НОД(a, b) · НОК(a, b) = ab.
2. Подставляем известные значения: 6 · НОК(a, b) = 5400.
3. Делим 5400 на 6 и получаем НОК(a, b) = 900. Числа не могут быть взаимно простыми, так как их НОД равен 6, а не 1.

Ответ: НОК равен 900; числа не являются взаимно простыми. Общий делитель 6 показывает, что у них есть общий множитель, отличный от единицы.

Типичные ошибки

При нахождении НОД иногда перемножают все множители из обоих разложений. Так получают число, которое может оказаться больше одного из исходных чисел и не быть их делителем. Проверьте результат делением на оба числа: НОД должен делить каждое из них.

При нахождении НОК учитывают только общие простые множители. Из-за этого полученное число может не делиться на число, в разложении которого был дополнительный множитель. Проверьте делимость результата на оба исходных числа и добавьте недостающие множители.

НОД и НОК часто путают из-за похожих названий. НОД ищут среди делителей и выбирают наибольший, а НОК ищут среди кратных и выбирают наименьшее. Полезно сначала подписать, что именно требуется найти.

Некоторые считают взаимно простыми только два простых числа. Это неверно: например, 8 и 9 составные, но их НОД равен 1. Для проверки найдите общий делитель или сравните простые множители разложений.

Связь с другими темами

До изучения НОД и НОК нужно уметь находить делители и кратные, выполнять деление без остатка и раскладывать натуральные числа на простые множители. Эти навыки объясняют, откуда берутся правила выбора множителей.

НОД используют при сокращении дробей и делении предметов на равные части. НОК нужен для приведения дробей к общему знаменателю и решения задач, где повторяющиеся события должны произойти одновременно.

Что запомнить

• НОД — наибольший общий делитель чисел.
• НОК — наименьшее общее кратное чисел.
• Для НОД по разложениям берут только общие простые множители в наименьших степенях.
• Для НОК берут все простые множители в наибольших степенях.
• Два числа взаимно просты тогда и только тогда, когда их НОД равен 1.
• Для натуральных чисел a и b выполняется равенство НОД(a, b) · НОК(a, b) = ab.