§ 1. Понятие делимости. Делимость суммы и произведения

Определения и обозначения

Говорят, что целое число a делится на целое число b, если существует целое число q, для которого a = bq. При этом b ≠ 0, потому что деление на ноль не определено. Такое равенство показывает делимость точно: частное должно быть целым.

Число b называют делителем числа a, если a делится на b без остатка. Например, 6 — делитель 24, потому что 24 = 6 · 4. Это понятие помогает искать числа, на которые данное число делится целиком.

Число a называют кратным числа b, если a = bq для некоторого целого q. Значит, 24 является кратным 6. Одни и те же два числа можно описать с двух сторон: 6 — делитель 24, а 24 — кратное 6.

Запись b | a означает, что b делит a, то есть a = bq при целом q. Запись b ∤ a означает отсутствие такого целого частного. Вертикальная черта читается «делит», поэтому порядок чисел в записи имеет значение.

Как это устроено

Делимость связана с представлением числа в виде произведения, а не просто с возможностью выполнить деление. Например, 7 : 2 = 3,5, но 2 ∤ 7, поскольку 3,5 не является целым числом. Если же 28 = 7 · 4, то 7 | 28: нужное частное 4 целое.

Пусть каждое из чисел b и c делится на одно и то же число a. Тогда существуют целые q и r, такие что b = aq, c = ar. В сумме получается b + c = aq + ar = a(q + r), поэтому общий множитель a сохраняется.

По той же причине делитель сохраняется при вычитании. Из равенств b = aq и c = ar следует b − c = a(q − r), а разность целых чисел снова целая. Поэтому если число делит каждое из нескольких слагаемых, оно делит их сумму и разность.

Если a | b, то b = aq. Умножив это равенство на любое целое c, получим bc = a(qc), значит, a | bc. Делитель одного множителя можно как бы вынести из всего произведения.

Пусть a | b и c | d. Тогда b = ak, d = cm для целых k и m. Перемножая, получаем bd = ac · km, поэтому ac | bd. Обратные выводы требуют осторожности: из делимости суммы нельзя заключать делимость каждого слагаемого, а из делимости произведения — каждого множителя.

Основные свойства делимости

Сначала найдите условие в левом столбце, затем проверьте, подходит ли оно к задаче. В среднем столбце указано, какую делимость можно получить, а последний столбец объясняет её через представление чисел с целыми частными.

Разбор задач

Задача 1. Докажите, что 7 делит сумму 42 + 35.

Нужно не только вычислить сумму, но и показать её представление в виде 7, умноженного на целое число. Для этого проверим каждое слагаемое отдельно и воспользуемся делимостью суммы.

1. 42 = 7 · 6, значит, 7 | 42.
2. 35 = 7 · 5, значит, 7 | 35.
3. По свойству суммы 7 | (42 + 35). Действительно, 42 + 35 = 7 · 6 + 7 · 5 = 7 · 11.

Ответ: 7 делит сумму 42 + 35.

Задача 2. Докажите, что 5 делит выражение 18 · 35 − 10 · 9.

В каждом слагаемом есть множитель, кратный 5. Сначала выделим этот множитель, а затем применим свойство делимости разности. Такой способ надёжнее, чем выполнять вычисления вслепую.

1. 35 = 5 · 7, поэтому 18 · 35 = 18 · 5 · 7 = 5 · 126.
2. 10 = 5 · 2, поэтому 10 · 9 = 5 · 18.
3. Тогда 18 · 35 − 10 · 9 = 5 · 126 − 5 · 18 = 5(126 − 18) = 5 · 108.
4. Число 108 целое, следовательно, 5 делит всё выражение.

Ответ: 5 | (18 · 35 − 10 · 9).

Задача 3. Известно, что a делит b и c делит d. Докажите, что ac делит bd.

Используем определения делимости, заменив b и d произведениями. Обозначим целые частные буквами k и m, чтобы явно увидеть общий множитель ac.

1. Из a | b следует b = ak для некоторого целого k.
2. Из c | d следует d = cm для некоторого целого m.
3. Перемножим равенства: bd = (ak)(cm) = ac(km).
4. Произведение km целое, значит, по определению ac | bd.

Ответ: ac делит bd.

Типичные ошибки

Считать делимость верной только потому, что частное рациональное. Например, 7 : 2 существует как число 3,5, но 2 не делит 7. Проверяйте, является ли частное целым.

Забывать условие b ≠ 0. Ноль нельзя использовать как делитель, поскольку деление на ноль не определено. Перед применением определения убедитесь, что делитель ненулевой.

Заключать, что делитель суммы обязан делить каждое слагаемое. Это обратное утверждение неверно: 5 делит 2 + 3, но не делит 2 и 3. Проверяйте направление свойства и при необходимости приводите сумму к виду d · целое число.

Путать делитель и кратное, меняя числа местами. Из a | b следует, что a — делитель b, а b — кратное a. Чтобы не ошибиться, читайте запись слева направо: «a делит b».

Связь с другими темами

Для изучения делимости нужны целые числа, умножение, деление с остатком, а также умение преобразовывать выражения и выносить общий множитель за скобки. Эти навыки позволяют заменять числа произведениями и находить целые частные.

Свойства делимости применяются при разложении чисел на множители, доказательстве утверждений о целых числах и решении задач на остатки. Позже они помогают быстро распознавать структуру выражений и выбирать способ доказательства.

Что запомнить

• b | a тогда и только тогда, когда a = bq для некоторого целого q.
• Делитель в записи b | a — число b; число a является его кратным.
• Если d делит каждое слагаемое, то d делит их сумму и разность.
• Если d делит один из множителей произведения, то d делит произведение.
• Делимость суммы или произведения сама по себе не гарантирует делимость каждого слагаемого или множителя.
• Для доказательства делимости удобно представить числа через целые частные.