§ 43. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел

Определения и обозначения

Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел — наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из них. Например, если число делится на 1, 2, 3 и 6, то среди этих делителей наибольшее — 6. НОД обозначают буквами НОД и указывают в скобках числа: НОД(24, 36).

Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел — наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из них. Например, общее кратное чисел 4 и 6 должно делиться и на 4, и на 6. НОК обозначают так: НОК(4, 6), а его значение в этом случае равно 12.

Общие делители нескольких чисел — это числа, на которые делится каждое из этих чисел. Например, у 12 и 18 общими делителями являются 1, 2, 3 и 6. Наибольший из общих делителей — их НОД, поэтому достаточно найти общие делители и выбрать самый большой.

Общие кратные нескольких чисел — числа, которые делятся на каждое из этих чисел. У 4 и 6 это, например, 12, 24 и 36; среди положительных общих кратных наименьшее равно 12. Оно и является НОК, которое удобно использовать, когда нужно согласовать несколько повторяющихся периодов.

Как это устроено

Чтобы найти НОД и НОК разложением, сначала представьте каждое число как произведение простых множителей. Затем сравните разложения: одинаковые множители удобно записать с показателями, например, 24 = 2³ · 3. Такой способ показывает, какие простые «кирпичики» составляют числа и сколько раз каждый из них в них входит.

Для НОД подходят только простые множители, которые присутствуют во всех разложениях. Если какого-то множителя нет хотя бы в одном числе, произведение с ним уже не сможет делить это число. Степень общего множителя выбирают наименьшую: именно столько его копий гарантированно содержится в каждом исходном числе.

Для НОК учитывают каждый простой множитель, который встретился хотя бы в одном разложении. Иначе полученное произведение не будет делиться на число, в котором есть пропущенный множитель. Наибольшая степень нужна потому, что НОК должен содержать достаточно копий каждого множителя, чтобы делиться на число с самым большим количеством таких копий.

НОД и НОК нескольких чисел можно находить последовательно. Сначала вычислите результат для двух чисел, затем найдите НОД или НОК этого результата и следующего числа; повторяйте действие до конца списка. Это работает, потому что результат на каждом шаге уже учитывает предыдущие числа, а новое вычисление добавляет к ним очередное число.

Проверяйте найденные значения по смыслу. НОД должен делить каждое исходное число без остатка, а НОК должен сам делиться на каждое из них. Если условие не выполняется, значит, при разложении или выборе степеней допущена ошибка; если выполняется только это условие для НОД, ещё проверьте, что нельзя взять больший общий делитель.

Как находить НОД и НОК нескольких чисел

Чтобы пользоваться таблицей, сначала решите, что требуется найти: общий делитель или общее кратное. Затем выберите нужные множители и степени по соответствующему столбцу. В конце проверьте связь результата с исходными числами.

Разбор задач

Найти НОД(24, 36, 60). Нужно найти наибольший делитель, общий для всех трёх чисел. Разложение на простые множители покажет, какие множители и в каком количестве входят в каждое число.

1. Разложим числа: 24 = 2³ · 3, 36 = 2² · 3², 60 = 2² · 3 · 5. Сравним разложения и оставим только 2 и 3, так как они есть в каждом. Множитель 5 не берём: в первых двух числах его нет.
2. Для двойки выбираем наименьшую степень: 2², потому что степени равны 3, 2 и 2. Для тройки выбираем 3¹, так как она входит в первое и третье числа в первой степени. Поэтому перемножаем 2² · 3 = 12.
3. Проверим: 24 : 12 = 2, 36 : 12 = 3, 60 : 12 = 5. Все частные — натуральные числа, значит, 12 является общим делителем. Ответ: НОД(24, 36, 60) = 12.

Найти НОК(18, 24, 30). Здесь требуется наименьшее число, которое делится на каждый из трёх периодов. Поэтому в разложениях нужно учесть все встретившиеся простые множители, а не только общие.

1. Разложим числа: 18 = 2 · 3², 24 = 2³ · 3, 30 = 2 · 3 · 5. В разложениях встречаются простые множители 2, 3 и 5. Все они должны войти в НОК, иначе он не будет делиться на одно из исходных чисел.
2. Для двойки берём наибольшую степень 2³, для тройки — 3², для пятёрки — 5¹. Тогда искомое произведение равно 2³ · 3² · 5 = 8 · 9 · 5 = 360. Более низкая степень хотя бы одного множителя не обеспечила бы делимость на число, где этот множитель встречается чаще.
3. Проверим делимость: 360 : 18 = 20, 360 : 24 = 15, 360 : 30 = 12. Значит, найденное число кратно всем трём числам. Ответ: НОК(18, 24, 30) = 360.

Три сигнала повторяются через 12, 18 и 30 минут. Через сколько минут они снова сработают одновременно? Момент совпадения должен наступить через промежуток, который делится на каждый из трёх периодов. Значит, нужно найти их наименьшее общее кратное.

1. Разложим периоды: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², 30 = 2 · 3 · 5. В этих разложениях есть множители 2, 3 и 5. Для НОК нужно учесть их все, поскольку период 30 содержит множитель 5, которого нет у двух остальных.
2. Выберем наибольшие степени: 2², 3² и 5¹. Получаем НОК = 2² · 3² · 5 = 4 · 9 · 5 = 180. Это число делится на каждый из периодов.
3. Проверим: 180 : 12 = 15, 180 : 18 = 10, 180 : 30 = 6. Значит, через 180 минут каждый сигнал успеет повториться целое число раз. Ответ: сигналы снова сработают одновременно через 180 минут.

Типичные ошибки

При нахождении НОД иногда включают множитель, который есть не во всех разложениях. Так происходит, когда ученик принимает за общие все множители, встречающиеся хотя бы один раз, — это правило для НОК. Проверьте себя: каждый множитель НОД должен присутствовать в разложении каждого числа, а результат обязан делить все числа.

Для НОК могут ошибочно взять наименьшую степень множителя. Такой выбор похож на правило для НОД, но он не гарантирует делимость на число, где множитель входит в большей степени. Проверьте результат делением на каждое исходное число: если где-то появится остаток, степень выбрана неверно.

Ещё одна ошибка — путать выбор степеней для НОД и НОК. У НОД берут меньшие степени общих множителей, а у НОК — большие степени всех встречающихся множителей. Чтобы не перепутать правила, перед вычислением сформулируйте смысл задачи: НОД должен делить числа, НОК должен делиться на них.

Нельзя автоматически считать, что произведение исходных чисел равно их НОК. Это верно не всегда: если числа имеют общие множители, произведение может содержать их лишнее количество. Найдите НОК по разложениям или проверьте предполагаемый ответ делением на каждое число; например, для 4 и 6 произведение равно 24, а НОК — 12.

Связь с другими темами

Для работы с НОД и НОК нужно уметь раскладывать натуральные числа на простые множители. Также важно сравнивать степени одинаковых множителей: например, понимать, что в разложении 2³ двойка встречается чаще, чем в 2². Эти умения помогают не пропустить нужный множитель и выбрать правильную степень.

НОД используют при сокращении дробей: числитель и знаменатель делят на общий делитель. НОК помогает привести дроби к общему знаменателю, а также решать задачи, в которых события повторяются через разные промежутки времени. В таких задачах момент следующего совпадения находят по НОК периодов.

Что запомнить

• НОД делит каждое из исходных чисел.
• НОК делится на каждое из исходных чисел.
• Для НОД берут только общие простые множители.
• Для НОД выбирают наименьшие степени общих множителей.
• Для НОК учитывают все простые множители из разложений.
• Для НОК выбирают наибольшие степени множителей.