"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Основная теорема арифметики объясняет, почему каждое натуральное число больше 1 можно разложить на простые множители только одним способом, если не учитывать их порядок. Такое разложение помогает находить делители числа, вычислять НОД и НОК, упрощать дроби и решать задачи на делимость. Чтобы применять теорему, нужно уметь отличать простые числа от составных и записывать одинаковые множители степенями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Простое число — натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Например, 7 делится без остатка только на 1 и 7. Это определение помогает сразу понять, какие числа могут быть отдельными множителями при разложении.
Составное число — натуральное число, большее 1, имеющее более двух натуральных делителей. Например, у числа 12 есть делители 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Составное число можно представить как произведение меньших натуральных чисел, а затем разложить эти числа дальше.
Разложение на простые множители — представление составного натурального числа в виде произведения простых чисел. Например, 18 = 2 · 3 · 3. Такая запись позволяет увидеть, из каких простых «кирпичиков» составлено число, и использовать их при вычислении НОД и НОК.
Основная теорема арифметики утверждает: любое натуральное число, большее 1, единственным образом представляется в виде произведения простых множителей с точностью до их порядка. Например, 30 можно записать как 2 · 3 · 5 или 5 · 2 · 3, но набор множителей один и тот же. Теорема позволяет считать разложение надёжным способом описания числа.
Натуральное число больше 1 имеет хотя бы два делителя: 1 и само число. Если других делителей нет, оно простое; если есть, число составное. Поэтому эти два случая охватывают все натуральные числа больше 1. Число 1 исключено из обоих случаев: у него только один натуральный делитель.
Чтобы разложить составное число, сначала ищут простой делитель и делят на него число. Полученное частное снова проверяют: если оно составное, его также делят на простой множитель. Например, деление 84 на 2 даёт 42, а 42 ещё делится на 2; так постепенно выделяются простые множители. Этот способ работает, потому что составное число обязательно имеет делитель, отличный от 1 и самого числа.
Процесс не может продолжаться бесконечно. После деления на простой множитель, больший 1, частное становится меньше числа, которое делили. Натуральные числа нельзя бесконечно уменьшать, оставаясь больше 1, поэтому рано или поздно получаются простые множители. Если частное стало простым, делить его дальше уже не нужно.
Теорема утверждает не только существование разложения, но и его единственность. Иначе одно число могло бы иметь два разных набора простых множителей, что противоречило бы свойствам простых чисел: если простое число делит произведение, оно делит хотя бы один из множителей. Значит, набор простых чисел и число повторений каждого из них определяются самим числом. Перестановка множителей ничего не меняет, поскольку от порядка сомножителей произведение не зависит.
Одинаковые простые множители удобно объединять в степени: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2³ · 3². Такая запись называется каноническим разложением. По ней видно, какие простые числа делят исходное число; кроме того, можно находить НОД и НОК или подсчитывать делители. Например, делитель числа 72 может содержать от нуля до трёх двоек и от нуля до двух троек.
| Объект | Определение | Количество делителей | Пример |
|---|---|---|---|
| Простое число | Натуральное число больше 1 с ровно двумя делителями | 2 | 7 |
| Составное число | Натуральное число больше 1 с более чем двумя делителями | Больше 2 | 12 |
| Число 1 | Не является ни простым, ни составным | 1 | 1 |
| Разложение составного числа на простые множители | Произведение простых чисел | Зависит от числа | 18 = 2 · 3 · 3 |
| Каноническая запись разложения | Одинаковые простые множители объединены в степени | Зависит от показателей | 72 = 2³ · 3² |
Чтобы определить, простое число или составное, сравните число его натуральных делителей с определениями; единицу рассматривайте отдельно. При разложении проверяйте, что все множители простые. Каноническая запись показывает, сколько раз каждый простой множитель входит в произведение.
Задача 1. Разложить число 84 на простые множители и записать результат в каноническом виде. Начнём с наименьших простых чисел: 84 делится на 2. Частное 42 тоже делится на 2, а затем 21 делится на 3. Оставшееся частное 7 — простое, значит, разложение можно завершить.
Ответ: 84 = 2² · 3 · 7. Проверка: 4 · 3 · 7 = 84, а каждый множитель в разложении прост.
Задача 2. Разложить числа 360 и 540 на простые множители, найти их НОД и НОК. Сначала разложим числа на простые множители и запишем одинаковые множители степенями. Для НОД оставим общие простые основания с меньшими показателями, потому что общий делитель не может содержать больше множителей, чем есть в каждом из чисел. Для НОК возьмём все основания с большими показателями, чтобы полученное число делилось на оба числа.
Ответ: НОД равен 180, НОК равен 1080. Проверка: оба числа делятся на 180, а 1080 делится и на 360, и на 540.
Задача 3. Сколько натуральных делителей имеет число 360? Перечислить их количество, не выписывая все делители. Каждый делитель составляется из простых множителей числа, но может содержать их в меньших количествах. В разложении 360 = 2³ · 3² · 5 показатель двойки в делителе выбирается от 0 до 3, тройки — от 0 до 2, пятёрки — от 0 до 1. Для каждого выбора получается свой делитель, поэтому число вариантов нужно перемножить.
Ответ: число 360 имеет 24 натуральных делителя. Делитель 1 тоже учитывается: он получается, когда все три показателя равны нулю.
Иногда число 1 называют простым, потому что оно делится на себя. Но определение требует ровно двух натуральных делителей, а у единицы делитель только один. Чтобы проверить себя, перечислите делители числа и отдельно сверьте их количество с определением.
Другая ошибка — остановить разложение, когда получено произведение составных чисел. Например, запись 84 = 4 · 21 верна, но это ещё не разложение на простые множители: и 4, и 21 составные. Проверяйте каждый множитель, пока все они не станут простыми.
Перестановки множителей иногда принимают за разные разложения: 2 · 3 · 5 и 5 · 2 · 3. Однако умножение не зависит от порядка сомножителей, поэтому в обоих случаях набор множителей один. Для проверки сравнивайте сами простые числа и количество каждого, а не последовательность записи.
Единственность разложения ошибочно понимают как требование единственного порядка множителей. Единственны простые множители и их показатели, но записать их можно по-разному: например, 2 · 3 и 3 · 2. Приведение разложения к каноническому виду помогает проверить себя: основания располагают одинаково и считают число повторений каждого.
Для работы с разложениями пригодятся признаки делимости, а также понятия делителя и кратного. По канонической записи удобно находить НОД и НОК — они, в свою очередь, нужны при сокращении дробей и решении задач на делимость. Позже похожая идея разложения на множители появится при преобразовании алгебраических выражений. Свойства степеней помогут компактно записывать повторяющиеся множители и выполнять вычисления.
Почему число 1 не считают простым?
У простого числа должно быть ровно два натуральных делителя: 1 и само число. У числа 1 только один делитель — оно само, поэтому определению простого числа оно не соответствует.
Как понять, что разложение числа на множители уже закончено?
Разложение закончено, когда каждый множитель — простое число. Если среди множителей есть составной, его нужно разложить дальше.
Почему порядок простых множителей не влияет на единственность разложения?
При перестановке множителей их произведение не меняется: например, 2 · 3 · 5 = 5 · 2 · 3. Единственны сами простые множители и количество каждого из них, а не порядок записи.
Можно ли разложить простое число на простые множители?
Простое число уже является простым множителем, поэтому его можно записать как произведение из одного множителя. На произведение двух или более простых чисел его разложить нельзя: тогда оно было бы составным.
Как по разложению на простые множители найти НОД и НОК?
Для НОД выбирают общие простые множители с наименьшими показателями степеней. Для НОК берут все простые множители, встречающиеся хотя бы в одном разложении, с наибольшими показателями.
§ 44. Основная теорема арифметики натуральных чисел
