"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Если каждый следующий член геометрической прогрессии получается умножением на число с модулем меньше 1, члены становятся всё ближе к нулю, а сумма всей бесконечной последовательности может быть конечной. Для неё используют формулу S = b₁/(1 − q). В этой теме также разбирают арифметический корень: неотрицательное число, которое при возведении в заданную степень даёт подкоренное число. Эти понятия нужны для вычислений, преобразования периодических дробей и работы со степенями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это геометрическая прогрессия, знаменатель q которой удовлетворяет условию |q| < 1. Её члены имеют вид b₁, b₁q, b₁q² и далее; умножение на число с модулем меньше единицы уменьшает модуль каждого следующего члена. Понятие нужно, чтобы описывать последовательности, члены которых не обрываются, но становятся сколь угодно малыми.
Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют предел сумм её первых n членов, когда n неограниченно возрастает. Если первый член равен b₁, а знаменатель — q, то S = b₁/(1 − q) при |q| < 1. Эта формула позволяет заменить бесконечное сложение одним вычислением.
Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — неотрицательное число, n-я степень которого равна a; его обозначают ⁿ√a. Например, ³√8 = 2, поскольку 2³ = 8. При чётном n в действительных числах требуется a ≥ 0, а при нечётном n корень существует для любого действительного a.
Общий член геометрической прогрессии записывается как bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Если |q| < 1, то с каждой новой степенью q модуль результата умножается на число меньше единицы. Поэтому |bₙ| = |b₁||q|ⁿ⁻¹ становится всё меньше и стремится к нулю; при отрицательном q знаки меняются, но уменьшение модуля сохраняется.
Для q ≠ 1 сумму первых n членов можно получить, умножив Sₙ = b₁ + b₁q + … + b₁qⁿ⁻¹ на q и вычтя полученное равенство из исходного. После сокращения одинаковых слагаемых остаётся (1 − q)Sₙ = b₁(1 − qⁿ), откуда Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Это конечная формула, и она служит переходом к сумме бесконечного числа членов.
Если |q| < 1, то qⁿ стремится к нулю. Поэтому при переходе к пределу в формуле Sₙ слагаемое qⁿ исчезает, а частичные суммы приближаются к S = b₁/(1 − q). Именно предел, а не простое сложение бесконечного количества чисел, определяет сумму такой прогрессии.
Условие |q| < 1 нельзя убрать: при |q| > 1 члены, как правило, не стремятся к нулю, а при q = 1 сумма первых n членов равна nb₁ и обычно не имеет конечного предела. При q = −1 частичные суммы чередуются и также не сходятся, если b₁ ≠ 0. Значит, формула бесконечной суммы применима только тогда, когда частичные суммы имеют конечный предел.
Извлечь корень n-й степени — значит найти число x, для которого xⁿ = a. При чётном n отрицательное число не подходит, потому что его чётная степень положительна; поэтому для a ≥ 0 выбирают единственное неотрицательное значение. При нечётном n знак результата совпадает со знаком a, так как нечётная степень сохраняет знак числа. Проверка проста: возвести найденный корень в степень n и убедиться, что получилось a.
| Понятие | Условие или смысл | Формула или свойство | Ограничения |
|---|---|---|---|
| Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия | Модуль каждого следующего члена уменьшается | bₙ = b₁qⁿ⁻¹ | |q| < 1 |
| Сумма первых n членов | Сумма конечного количества членов | Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) | Формула в таком виде при q ≠ 1 |
| Сумма бесконечной прогрессии | Предел частичных сумм | S = b₁/(1 − q) | |q| < 1 |
| Арифметический корень чётной степени | Неотрицательное число, чья чётная степень равна a | ⁿ√a ≥ 0 | В действительных числах a ≥ 0 |
| Арифметический корень нечётной степени | Число, чья нечётная степень равна a | (ⁿ√a)ⁿ = a | Существует при любом действительном a |
Сначала найдите в таблице нужное понятие и проверьте его ограничение: для бесконечной суммы это модуль q, а для корня — чётность показателя и знак подкоренного числа. Затем применяйте соответствующую формулу или свойство. Ограничения помогают понять, допустимо ли вычисление.
Задача 1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если b₁ = 12, q = 1/3.
1. Проверяем условие: |1/3| < 1, следовательно, бесконечная сумма существует.
2. Подставляем данные в формулу: S = 12/(1 − 1/3) = 12/(2/3).
3. Деление на 2/3 заменяем умножением на 3/2: S = 18.
Ответ: 18.
Задача 2. Представить периодическую десятичную дробь 0,272727… в виде обыкновенной дроби.
1. Записываем число как сумму: 0,27 + 0,0027 + 0,000027 + … . Первый член равен 27/100, а знаменатель равен 1/100.
2. Проверяем сходимость: |1/100| < 1, значит, применима формула бесконечной суммы.
3. Получаем S = (27/100)/(1 − 1/100) = (27/100)/(99/100) = 27/99 = 3/11.
Ответ: 3/11.
Задача 3. Вычислить ⁴√81 и ⁵√(−32), а затем объяснить, почему ⁴√(−16) не имеет значения в действительных числах.
1. Для ⁴√81 ищем неотрицательное число, четвёртая степень которого равна 81: 3⁴ = 81, значит, ⁴√81 = 3.
2. Для ⁵√(−32) учитываем нечётный показатель: (−2)⁵ = −32, поэтому ⁵√(−32) = −2.
3. Четвёртая степень любого действительного числа неотрицательна и не может равняться −16.
Ответ: 3; −2; ⁴√(−16) в действительных числах не существует.
Применять сумму при |q| ≥ 1. Ошибка возникает, когда формулу используют, не проверив, сходятся ли частичные суммы. При таких q они не имеют конечного предела (за исключением нулевой последовательности с b₁ = 0). Сначала вычислите |q| и убедитесь, что он меньше единицы.
Писать в знаменателе q − 1. Такой знак иногда появляется при попытке вспомнить формулу без её вывода. Вычитание равенств для Sₙ и qSₙ даёт множитель 1 − q, поэтому правильная формула бесконечной суммы — b₁/(1 − q). Проверить знак можно на примере положительного q между нулём и единицей: сумма членов с положительным первым членом должна быть положительной.
Извлекать чётный корень из отрицательного числа в действительных числах. Это происходит, если забыть, что квадрат и любая чётная степень действительного числа неотрицательны. Поэтому равенство xⁿ = a при чётном n невозможно для a < 0. Перед вычислением проверьте знак подкоренного числа.
Считать оба числа x и −x значениями арифметического корня чётной степени. Путают обозначение корня с решением уравнения xⁿ = a: уравнение при a > 0 действительно имеет два решения. Но знак ⁿ√a обозначает только неотрицательное из них. Подстановка ответа в определение и проверка условия x ≥ 0 позволяют избежать ошибки.
Для работы с бесконечно убывающей прогрессией нужны формула её n-го члена и формула суммы первых n членов, а также понятие предела последовательности. Именно предел объясняет, почему бесконечную сумму можно определить через суммы конечного числа слагаемых. Знание корней помогает связывать возведение в степень с обратным действием.
Сумма бесконечной прогрессии позволяет переводить периодические десятичные дроби в обыкновенные: цифры периода образуют повторяющиеся слагаемые с постоянным отношением. Арифметические корни используются при изучении степеней с рациональными показателями. В обоих случаях важно проверять условия, при которых вычисление имеет смысл.
Почему для суммы бесконечной геометрической прогрессии требуется условие |q| < 1?
При |q| < 1 степени qⁿ стремятся к нулю, поэтому прибавляемые члены становятся всё меньше, а частичные суммы приближаются к одному конечному числу. Если |q| ≥ 1, члены обычно не стремятся к нулю и частичные суммы не имеют конечного предела.
Как вывести формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии?
Сумма первых n членов равна Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q), если q ≠ 1. При |q| < 1 величина qⁿ стремится к нулю, поэтому в пределе остаётся S = b₁/(1 − q).
Можно ли найти сумму бесконечной прогрессии, если её знаменатель отрицательный?
Можно, если модуль знаменателя меньше 1: например, q = −½ удовлетворяет условию сходимости. Знаки членов будут чередоваться, но частичные суммы приблизятся к числу b₁/(1 − q).
Почему арифметический корень чётной степени не может быть отрицательным?
При возведении отрицательного числа в чётную степень результат положителен, как и при возведении положительного числа. Арифметическим корнем называют именно неотрицательное число, поэтому отрицательное значение корня не подходит.
Чем арифметический корень отличается от решения уравнения xⁿ = a?
Арифметический корень по определению неотрицателен. У уравнения при чётном n и положительном a есть два решения: x = ⁿ√a и x = −ⁿ√a, тогда как знак корня обозначает только первое, неотрицательное число.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Арифметический корень натуральной степени
