Степень с рациональным и действительным показателями

Определения и обозначения

Если n — положительное целое число, то aⁿ — произведение n одинаковых множителей a: например, a³ = a · a · a. При ненулевом основании a⁰ = 1. Это определение продолжает правило деления степеней: aⁿ/aⁿ = a⁰, а левая часть равна 1.

При целом отрицательном показателе a⁻ⁿ = 1/aⁿ, где a ≠ 0. Иными словами, отрицательный показатель указывает на обратную величину соответствующей положительной степени. Это позволяет сохранить правила умножения и деления степеней, даже если показатель отрицательный.

Для положительного основания a и рационального показателя m/n, где m — целое число, а n — натуральное, задают aᵐ⁄ⁿ = ⁿ√(aᵐ). Действие существует в действительных числах при a > 0; корень чётной степени из отрицательного числа не является действительным. Такое определение связывает дробный показатель с уже знакомым корнем.

Степень с действительным показателем aˣ при a > 0 задают как значение показательной функции с основанием a. Показательная функция — это y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1; её область определения — все действительные числа, а множество значений — положительные числа. Она нужна для описания зависимостей, где величина изменяется по закону степени.

Как это устроено

Сначала степень определяют для положительного целого показателя как повторное умножение. Чтобы правило aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ работало и при m = n, частное должно быть равно a⁰ = 1. Если показатель отрицательный, то, например, a⁰/aⁿ = a⁻ⁿ; поскольку a⁰ = 1, получается a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Значит, нулевая и отрицательная степени не вводятся произвольно: они продолжают знакомые правила.

Дробный показатель появляется из связи между степенью и корнем. Если x = aᵐ⁄ⁿ, то по смыслу n-й степени должно выполняться xⁿ = aᵐ, поэтому x равен корню n-й степени из aᵐ. Для удобства можно сначала извлечь корень или сначала возвести число в целую степень — выбирают порядок, при котором считать проще. У отрицательного основания эта схема подходит не всегда: корень чётной степени из отрицательного числа не существует в действительных числах, поэтому основание ограничивают условием a > 0.

Рациональные числа можно подобрать сколь угодно близко к любому действительному числу. Поэтому степень положительного основания с иррациональным показателем определяют согласованно со значениями степеней при приближающих рациональных показателях. Например, показатель √2 можно приблизить дробями 1,4; 1,41; 1,414 и так далее, получая всё более точные значения степени. При положительном основании эти значения согласуются и задают одно число aˣ.

Положительное основание выбирают потому, что при отрицательном основании уже для рациональных показателей возникают ограничения: некоторые корни не существуют в действительных числах. Нулевое основание тоже не подходит для любого показателя: нулевая степень не определена, а отрицательная потребовала бы делить на ноль. При a > 0 степень определена для каждого действительного x, поэтому можно говорить о единой функции y = aˣ.

Законы действий над степенями сохраняются при расширении показателей: умножение одинаковых оснований складывает показатели, деление вычитает, а возведение степени в степень перемножает их. Эти правила следуют из уже знакомых законов для целых и рациональных показателей и согласуются с определением действительной степени через приближение. В формулах с действительными показателями основания должны быть положительными; при делении знаменатель также не должен быть нулём. Поэтому для a, b > 0 верны (ab)ˣ = aˣbˣ и (a/b)ˣ = aˣ/bˣ.

Степени с различными показателями: определения и свойства

В таблице сначала найдите строку, соответствующую виду показателя или действию, которое нужно выполнить. Затем проверьте условия: в частности, для действительных показателей основание должно быть положительным. Формулы с одинаковым основанием нельзя применять к степеням разных оснований без дополнительного преобразования.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить 16³⁄⁴ и 27²⁄³. Дробный показатель можно превратить в корень, а затем выполнить целую степень. Выберем порядок, при котором корень извлекается без остатка.

1. 16³⁄⁴ = (⁴√16)³.
2. ⁴√16 = 2, поэтому 16³⁄⁴ = 2³ = 8.
3. 27²⁄³ = (³√27)² = 3² = 9.

Ответ: 8 и 9. В обоих примерах корень удобно извлечь первым, потому что 16 и 27 — точные степени четвёртого и третьего корней соответственно. Если корень не извлекается сразу, иногда удобнее сначала вычислить целую степень под корнем.

Задача 2. Упростить (a²⁄³ · a⁻⁵⁄⁶)/a⁻¹⁄² при a > 0. Основание одинаковое, поэтому при умножении показатели складываются, а при делении вычитаются. Условие a > 0 позволяет использовать эти степени с рациональными показателями.

1. Сначала объединим степени в числителе: a²⁄³ · a⁻⁵⁄⁶ = a²⁄³⁻⁵⁄⁶.
2. Приведём показатели к знаменателю 6: 2/3 = 4/6, поэтому 4/6 − 5/6 = −1/6.
3. Разделим на a⁻¹⁄²: a⁻¹⁄⁶/a⁻¹⁄² = a⁻¹⁄⁶⁻⁽⁻¹⁄²⁾ = a⁻¹⁄⁶⁺¹⁄² = a²⁄⁶ = a¹⁄³.

Ответ: a¹⁄³. При вычитании отрицательного показателя получается сложение, поэтому перед вычислением полезно записать действие с показателями отдельно. Результат можно также представить как кубический корень из a.

Задача 3. Решить уравнение 3²ˣ⁻¹ = 1/27. Чтобы сравнить показатели, представим обе части как степени с одинаковым основанием. Число 27 равно 3³, значит, 1/27 = 3⁻³.

1. Перепишем уравнение: 3²ˣ⁻¹ = 3⁻³.
2. Основания одинаковы и равны 3, поэтому приравняем показатели: 2x − 1 = −3.
3. Решим линейное уравнение: 2x = −2, следовательно, x = −1.
4. Проверим: 3²⁽⁻¹⁾⁻¹ = 3⁻³ = 1/27, значит, значение подходит.

Ответ: x = −1. При одинаковом положительном основании степени равны только тогда, когда равны их показатели. Перед этим шагом важно представить обе части именно с одним и тем же основанием.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что a⁰ = 0, хотя при a ≠ 0 верно a⁰ = 1. Её часто допускают, перенося на степень привычное значение нуля; проверить ответ можно правилом aⁿ/aⁿ = a⁰: частное ненулевого числа на себя равно 1. Поэтому значение нулевого показателя должно быть единицей.

Вторая ошибка — заменять a⁻ʳ на −aʳ. Минус в показателе означает обратную величину, а не отрицательный знак перед степенью: a⁻ʳ = 1/aʳ. Например, 2⁻² = 1/4, а не −4; проверка через произведение 2² · 2⁻² = 2⁰ подтверждает это.

Третья ошибка — извлекать корень из отрицательного основания, не проверив его степень. Для корня чётной степени действительное значение из отрицательного числа не существует, тогда как корень нечётной степени существует. Перед вычислением сопоставьте знаменатель дробного показателя с чётностью корня и проверьте, что выбранное определение допустимо.

Четвёртая ошибка — складывать или сокращать показатели у степеней с разными основаниями. Правило aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ действует только при одинаковом основании; например, 2³ · 3² нельзя заменить степенью с показателем 5. Перед применением свойства сравните основания, а если они различны, сначала ищите возможность привести их к одному виду.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия целой степени, арифметического квадратного и n-го корня, а также свойства корней и степеней. Именно связь корня с целой степенью позволяет определить степень с дробным показателем. Степени с действительным показателем становятся основой для изучения показательной функции, а затем — показательных уравнений и неравенств. Позже они используются и при изучении логарифмов, обратных к показательной функции.

Что запомнить

• При a ≠ 0: a⁰ = 1 и a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• Для a > 0 и рационального r степень aʳ определяют через корень и целую степень.
• Степень aˣ с действительным x рассматривают при положительном основании a.
• aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ при одинаковом основании.
• (aˣ)ʸ = aˣʸ при допустимых значениях.
• Для действительных показателей основание степени должно быть положительным.