"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Степень с рациональным показателем связывает возведение в степень с извлечением корня: например, показатель 1/3 означает кубический корень. Такое определение позволяет записывать корни в удобной форме и применять к ним правила степеней. Для положительного основания степень можно определить и при любом действительном показателе — целое, дробное или иррациональное число. Главное — учитывать условия на основание и правильно складывать, вычитать или перемножать показатели.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пусть r = m/n, где m — целое число, n — натуральное число. Для положительного основания степень с рациональным показателем определяют формулой aʳ = ⁿ√(aᵐ). Например, a^(1/3) — это кубический корень из a. Такое обозначение позволяет работать с корнями по правилам степеней.
Для любого положительного a принимают a⁰ = 1. Это согласуется с правилом деления: при делении aᵏ на aᵏ показатели вычитаются, поэтому получается aᵏ/aᵏ = aᵏ⁻ᵏ = a⁰, а само отношение равно 1. Нулевой показатель не означает, что значение степени равно нулю.
Степень с отрицательным рациональным показателем определяют как обратную величину: a⁻ʳ = 1/aʳ при a > 0. Например, a⁻² = 1/a². Это обозначение удобно для записи дробей и сохраняет правило вычитания показателей при делении степеней.
Для положительного a степень aˣ с действительным показателем x определяют как предел степеней с рациональными показателями, которые приближаются к x. Иначе говоря, рациональные числа задают всё более точные приближения к показателю, а соответствующие степени — к значению aˣ. Так определение распространяется и на иррациональные показатели, например √2.
Формула a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) следует из свойств корня и целых степеней. Если обозначить ⁿ√(aᵐ) через b, то bⁿ = aᵐ; значит, возведение b в степень n должно соответствовать возведению a^(m/n) в степень n. Так дробный показатель и корень описывают одно и то же число. Дробь m/n сокращают заранее, чтобы одна и та же степень не зависела от случайного способа записи дроби.
Отрицательный показатель означает переход к обратному числу, поскольку при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: a⁰/aʳ = a⁻ʳ. С другой стороны, a⁰ = 1, поэтому частное равно 1/aʳ. Основание не может быть нулём: деление на ноль не определено, и обратного числа к нулю нет. Таким образом, определение отрицательной степени продолжает правило деления степеней.
Действительный показатель может быть иррациональным, поэтому для него нельзя непосредственно воспользоваться записью m/n. Но рациональные числа можно подобрать сколь угодно близко к любому действительному числу. При положительном основании степени с такими показателями тоже определены, и их значения приближаются к одному пределу. Положительное основание позволяет проделать это для любого действительного показателя, не сталкиваясь с отсутствием корня или неоднозначностью результата.
Основные свойства сохраняются, потому что их верность для рациональных показателей сочетается с предельным переходом. При умножении степени одного основания показатели складываются: aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ; при делении вычитаются: aˣ/aʸ = aˣ⁻ʸ. При возведении степени в степень показатели перемножаются: (aˣ)ʸ = aˣʸ. Также при положительных a и b верны равенства (ab)ˣ = aˣbˣ и (a/b)ˣ = aˣ/bˣ.
Если a > 1, то увеличение показателя увеличивает значение степени: при x₁ < x₂ выполняется aˣ¹ < aˣ². Это продолжает знакомое поведение целых и рациональных степеней с основанием больше единицы. При 0 < a < 1 направление меняется: aˣ убывает, поскольку такое основание можно представить как обратное число к числу, большему единицы. Это различие важно при сравнении степеней и решении неравенств.
Сначала уточните вид показателя и проверьте условия на основание, затем выберите правило из таблицы. Для действительных показателей в таблице предполагаются положительные основания; при делении знаменатель также должен быть ненулевым. Правила позволяют преобразовывать выражения, не вычисляя каждую степень отдельно.
| Свойство | Степень с рациональным показателем | Степень с действительным показателем |
|---|---|---|
| Определение | a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ), a > 0 | Предел степеней с рациональными показателями |
| Условия на основание и показатель | a > 0; показатель рациональный | a > 0; показатель действительный |
| Умножение степеней с одинаковым основанием | aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ | aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ |
| Деление степеней с одинаковым основанием | aˣ/aʸ = aˣ⁻ʸ | aˣ/aʸ = aˣ⁻ʸ |
| Возведение степени в степень | (aˣ)ʸ = aˣʸ | (aˣ)ʸ = aˣʸ |
| Степень произведения и частного | (ab)ˣ = aˣbˣ; (a/b)ˣ = aˣ/bˣ | (ab)ˣ = aˣbˣ; (a/b)ˣ = aˣ/bˣ |
Задача 1. Вычислить 27^(2/3) и объяснить переход от дробного показателя к корню. Здесь знаменатель 3 указывает на кубический корень, а числитель 2 — на квадрат числа. Представление основания как куба упрощает вычисления.
Получили тот же результат, что и при извлечении кубического корня из 27². Ответ: 9.
Задача 2. Упростить (a^(3/5) · a^(−1/2))/a^(1/10) при a > 0. Поскольку основания одинаковы, после умножения и деления достаточно сложить показатели в числителе и вычесть показатель знаменателя. Отрицательный показатель сохраняется со своим знаком.
Условие a > 0 позволяет использовать отрицательную степень и нулевой показатель. Ответ: 1.
Задача 3. Сравнить 2^√2 и 2^1,5, не вычисляя значения степеней. Основания у степеней одинаковы, поэтому сравним показатели. Так как 2 > 1, порядок значений степеней совпадает с порядком показателей.
Вычислять сами степени не требуется: достаточно сравнения показателей и знания о возрастании. Ответ: 2^√2 < 2^1,5.
Подставлять отрицательное основание в формулу a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ), не проверив знаменатель, — рискованно: при чётном n корень из отрицательного числа не определён в действительных числах. Ошибку допускают, перенося формулу для положительного основания на любой случай. Проверяйте основание и чётность корня; в этой теме используйте a > 0.
Иногда считают, что a⁰ = 0, смешивая нулевой показатель с нулевым основанием. Но при a > 0 верно a⁰ = 1: это следует и из деления aᵏ/aᵏ. Для проверки подставьте, например, 2: отношение 2³/2³ равно 1.
Запись a⁻ʳ = −aʳ ошибочна: минус в показателе обозначает обратную величину, а не знак числа. Такая путаница возникает из-за привычки воспринимать знак минус как отрицание. Проверьте результат по правилу деления: a⁰/aʳ = 1/aʳ, значит, a⁻ʳ именно равно 1/aʳ.
Считать, что степень всегда возрастает с увеличением показателя, нельзя: это верно при a > 1, но при 0 < a < 1 степень убывает. Ошибку провоцирует перенос свойства чисел вроде 2ˣ на любое основание. Чтобы проверить сравнение, установите, в какой из двух областей находится основание, и только затем сравнивайте показатели.
Для изучения темы понадобятся свойства целых степеней, понятие корня n-й степени и правила действий с дробями. Свойства целых степеней помогают обосновать новые формулы, а связь дробного показателя с корнем позволяет переходить от одной записи к другой. Умение сокращать дроби необходимо при работе с показателями.
Степени с действительными показателями используются при изучении показательной функции, показательных уравнений и неравенств. Связь степени с корнем помогает упрощать выражения и преобразовывать их. Знание монотонности степени позволяет сравнивать значения и устанавливать порядок решений.
Почему в определении степени с рациональным показателем основание берут положительным?
При положительном основании корень нужной степени существует для любого натурального показателя, а результат степени однозначен. Если основание отрицательное, чётный корень не является действительным числом, а для иррационального показателя степень обычно нельзя определить как действительное число.
Можно ли возвести отрицательное число в дробную степень?
Иногда можно, но не для всякой дроби. Например, кубический корень из отрицательного числа существует, а квадратный корень — нет. В этой теме степени с рациональными и действительными показателями определяют для положительного основания, чтобы не разбирать отдельные случаи.
Почему дробь в показателе степени нужно сокращать?
Сокращение показывает показатель в несократимом виде и помогает не получить противоречивые результаты при использовании корней разной степени. Например, показатель 2/6 следует записать как 1/3: тогда число однозначно связывается с кубическим корнем.
Что означает отрицательный показатель степени?
Отрицательный показатель означает обратное число к степени с противоположным показателем: a⁻ʳ = 1/aʳ при a > 0. Например, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8, а не −2³.
Как понять, возрастает или убывает степень при изменении показателя?
Сначала посмотрите на основание. При a > 1 значение aˣ возрастает с ростом x, а при 0 < a < 1 — убывает. Поэтому при сравнении степеней с одинаковым основанием достаточно сравнить показатели и учесть это направление.
§ 4. Степень с рациональным и действительным показателями
