§ 3. Арифметический корень натуральной степени

Определения и обозначения

Корень n-й степени из числа a — число, n-я степень которого равна подкоренному числу: xⁿ = a. Например, 3 — корень четвёртой степени из 81, потому что 3⁴ = 81. Это понятие позволяет решать обратную задачу к возведению в степень: по результату найти исходное число.

Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Например, арифметический квадратный корень из 25 равен 5, а не −5. Такое соглашение задаёт для радикала одно значение, чтобы запись √[n]{a} была однозначной.

Показатель корня — натуральное число n, записанное слева вверху у знака корня: в записи √[5]{32} это число 5. Он указывает, в какую степень нужно возвести результат, чтобы получить подкоренное число. Если показатель не написан, подразумевается 2.

Подкоренное выражение — число или выражение, записанное под знаком корня. В √[3]{x + 4} подкоренное выражение — x + 4, поэтому при преобразованиях нужно учитывать его целиком. У чётного показателя оно должно быть неотрицательным, если рассматриваются действительные числа.

Как это устроено

Для неотрицательных x функция y = xⁿ возрастает: большему x соответствует большая степень. Поэтому одно и то же неотрицательное a не может быть степенью двух разных неотрицательных чисел. При непрерывном изменении x от 0 вверх значение xⁿ проходит все значения от 0 вверх, значит, для каждого a ≥ 0 найдётся ровно одно число √[n]{a}.

Чётность показателя меняет поведение степени. При чётном n степени отрицательного и противоположного ему положительного числа совпадают, поэтому xⁿ = a при a > 0 имеет два решения, а при a = 0 — одно; при a < 0 решений нет. При нечётном n знак степени совпадает со знаком основания, и каждое действительное a получается ровно один раз, поэтому существует корень и из отрицательного числа.

Арифметический корень не означает, что уравнение имеет только одно решение. При чётном показателе радикал выбирает неотрицательное значение, тогда как уравнение xⁿ = a учитывает оба знака: например, x² = 9 имеет решения 3 и −3, но √9 = 3. Различие нужно, чтобы не приписывать знаку корня два значения.

Свойства корней следуют из свойств степеней и единственности корня с нужным знаком. Например, произведение √[n]{a} и √[n]{b} при допустимых условиях в степени n даёт ab, поэтому оно равно √[n]{ab}. Аналогично получают правило для частного, если знаменатель не равен нулю, и формулу корня из степени; условия нужны, чтобы обе части существовали в действительных числах.

Корень можно записать как степень с дробным показателем: √[n]{a} = a^(1/n). Такая запись согласуется с правилом умножения степеней: (a^(1/n))ⁿ = a. Для чётного n в действительных числах основание должно быть неотрицательным; для нечётного n допустимо и отрицательное основание.

Определение и основные свойства арифметического корня

Пользуйся таблицей так: сначала определи, чётный или нечётный показатель, затем проверь ограничения для подкоренного выражения. При извлечении корня из степени отдельно учитывай знак основания. В уравнении не путай значение радикала с количеством решений уравнения.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить √[3]{−125} и √[4]{81}. В первом случае подкоренное число отрицательное, но показатель нечётный, поэтому действительный корень существует. Во втором случае показатель чётный, а 81 — положительное число.

1. Ищем число, куб которого равен −125: (−5)³ = −125, значит, √[3]{−125} = −5.
2. Ищем неотрицательное число, четвёртая степень которого равна 81: 3⁴ = 81.
3. Учитываем, что арифметический корень чётной степени неотрицателен, поэтому √[4]{81} = 3, а не ±3.

Ответ: −5 и 3. Проверка возведением в нужную степень подтверждает оба результата. Знак ± появился бы при решении уравнения x⁴ = 81, а не при вычислении арифметического корня.

Задача 2. Упростить √[6]{64x⁶}. Здесь показатель чётный, поэтому при извлечении шестой степени нельзя просто отбросить модуль переменной. Сначала представим числовой множитель как полную шестую степень.

1. Записываем 64 = 2⁶, поэтому выражение становится √[6]{2⁶x⁶} = √[6]{(2x)⁶}.
2. Для чётного n выполняется √[n]{uⁿ} = |u|: арифметический корень неотрицателен при любом знаке u.
3. Получаем |2x|. Поскольку 2 положительно, |2x| = 2|x|.

Ответ: 2|x|. Например, при x = −1 исходный корень равен √[6]{64} = 2, и формула тоже даёт 2. Запись 2x ошибочно дала бы отрицательное значение при x < 0.

Задача 3. Решить уравнение √(x + 5) = x − 1. Корень слева существует при x + 5 ≥ 0, а его значение неотрицательно, поэтому правая часть тоже должна быть неотрицательной. Эти ограничения нужно установить до возведения в квадрат: иначе можно получить лишний ответ.

1. Область допустимых значений: x ≥ −5. Дополнительно x − 1 ≥ 0, значит, x ≥ 1.
2. Возводим обе части в квадрат: x + 5 = (x − 1)² = x² − 2x + 1.
3. Переносим всё в одну сторону: x² − 3x − 4 = 0, откуда (x − 4)(x + 1) = 0. Кандидаты: x = 4 и x = −1.
4. Условию x ≥ 1 отвечает только x = 4. Проверяем в исходном уравнении: √9 = 3 и 4 − 1 = 3.

Ответ: x = 4. Значение −1 исключено уже ограничением на правую часть, а проверка подтверждает найденный корень. При решении уравнений с радикалом возведение в квадрат не заменяет проверку исходного равенства.

Типичные ошибки

Ошибка: писать √[n]{aⁿ} = a при чётном n. Так делают, потому что знак степени кажется обратным знаком корня, но арифметический корень неотрицателен: правильно √[n]{aⁿ} = |a|. Проверь на a = −2: корень из (−2)² равен 2, а не −2.

Ошибка: извлекать корень чётной степени из отрицательного числа в действительных числах. Это происходит, когда не проверяют знак подкоренного выражения; квадрат или любая чётная степень действительного числа не может быть отрицательной. Перед вычислением проверь, что подкоренное выражение не меньше нуля.

Ошибка: считать, что корень чётной степени имеет два значения. Путают радикал √[n]{a} с решениями уравнения xⁿ = a: два противоположных решения бывают уравнения при a > 0, но арифметический корень обозначает только неотрицательное. Проверь, спрашивается ли значение корня или нужно решить уравнение.

Ошибка: возводить уравнение с корнем в степень без ОДЗ и проверки. Квадрат может скрыть знак выражения и привести к постороннему корню; часто его принимают за ответ, если не возвращаются к исходной записи. Сначала установи условия существования корня и знаки частей, а затем подставь кандидатов в исходное уравнение.

Связь с другими темами

Для работы с корнями нужны свойства степеней, понимание чётности и нечётности натуральных чисел, модуль и решение простейших уравнений. Эти знания помогают выбирать допустимые значения и правильно учитывать знак результата. Арифметический корень используется при преобразованиях выражений, решении иррациональных уравнений и переходе к степеням с дробными показателями.

Позже корень рассматривают как функцию y = √[n]{x}. Его область определения и поведение зависят от чётности n, что связывает тему с изучением функций, а также показательной и логарифмической функций. Освоенные правила позволяют выполнять преобразования выражений с такими функциями без потери условий.

Что запомнить

• Арифметический корень — всегда неотрицательное число.
• Для чётного показателя подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
• Для нечётного показателя под корнем может стоять любое действительное число.
• √[n]{aⁿ} = |a| при чётном n и √[n]{aⁿ} = a при нечётном n.
• Корень из произведения равен произведению корней при соблюдении условий существования.
• При решении уравнений с корнями обязательны область допустимых значений и проверка.
• √[n]{a} можно записывать как степень a^(1/n) при допустимом значении a.