"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Арифметический корень n-й степени — неотрицательное число, которое при возведении в степень n даёт подкоренное число. Корни позволяют решать обратную задачу по отношению к возведению в степень и упрощать выражения. Для корня чётной степени подкоренное число не может быть отрицательным, а корень нечётной степени существует для любого действительного числа. Разобраться в этих условиях важно, чтобы правильно применять свойства корней и не ошибаться со знаком ответа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корнем n-й степени из числа a называют число, n-я степень которого равна a. Например, 3 — корень третьей степени из 27, потому что 3³ = 27. Такое определение помогает понять, что при поиске корня мы ищем число, которое при возведении в указанную степень даст заданный результат.
Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Например, арифметический корень четвёртой степени из 16 равен 2, а не −2. Условие неотрицательности выбирает единственный ответ и важно при вычислениях.
Запись √[n]{a} означает корень n-й степени: n называют показателем корня, а a — подкоренным числом. Если показатель равен 2, его обычно не пишут: √a — квадратный корень из a. По обозначению сразу видно, какую степень нужно возвести, чтобы проверить результат.
При чётном n в действительных числах корень существует, только если подкоренное число неотрицательно; при нечётном n он существует для любого действительного числа. Например, √[4]{−16} не является действительным числом, а ∛(−8) = −2. Эта проверка показывает, можно ли выполнять действие в выбранном множестве чисел.
Возведение в степень отправляет число x в результат xⁿ, а извлечение корня решает обратную задачу: по результату найти исходное число. Поэтому для арифметического корня из неотрицательного a верно равенство (√[n]{a})ⁿ = a. Например, если √[3]{a} = 4, то a = 4³ = 64; равенство позволяет проверить вычисление.
Если n чётно, любое действительное число при возведении в степень n даёт неотрицательный результат. Отрицательные множители в произведении xⁿ попарно объединяются, и каждая пара даёт положительное число; ноль тоже остаётся неотрицательным. Поэтому отрицательное подкоренное число не может быть чётной степенью действительного числа, и действительного корня чётной степени из него нет.
Для a ≥ 0 арифметический корень единственный, потому что функция y = xⁿ возрастает при x ≥ 0. Значит, два разных неотрицательных числа не могут иметь одну и ту же n-ю степень, и условие xⁿ = a определяет ровно одно x. Для нечётного показателя среди всех действительных чисел также есть ровно одно число с заданной степенью, в том числе при отрицательном a.
При извлечении корня из степени результат зависит от чётности показателя. Если n чётно, то √[n]{aⁿ} = |a|: например, и 3, и −3 при возведении в четвёртую степень дают 81, а арифметический корень выбирает неотрицательное число 3. Если n нечётно, знак сохраняется, поэтому √[n]{aⁿ} = a, в том числе для отрицательного a.
Корни одинаковой степени можно объединить при умножении: √[n]{a} · √[n]{b} = √[n]{ab}. Это следует из того, что произведение корней, возведённое в степень n, равно ab; при чётном n нужны a ≥ 0 и b ≥ 0. Для деления получается √[n]{a} : √[n]{b} = √[n]{a/b}, если √[n]{b} ≠ 0; при чётном n нужны a ≥ 0 и b > 0, а при нечётном — b ≠ 0.
| Случай или свойство | Условия | Результат |
|---|---|---|
| Определение арифметического корня | a ≥ 0 | √[n]{a} ≥ 0 и (√[n]{a})ⁿ = a |
| Корень чётной степени | n чётно, a ≥ 0 | Существует один неотрицательный корень |
| Корень нечётной степени | n нечётно, a — любое действительное число | Существует один действительный корень |
| Корень из степени | a — любое действительное число | √[n]{aⁿ} = |a| при чётном n; √[n]{aⁿ} = a при нечётном n |
| Произведение корней одинаковой степени | Одинаковый n; при чётном n: a ≥ 0, b ≥ 0 | √[n]{a} · √[n]{b} = √[n]{ab} |
| Частное корней одинаковой степени | Одинаковый n; b ≠ 0; при чётном n: a ≥ 0, b > 0 | √[n]{a} : √[n]{b} = √[n]{a/b} |
Сначала в таблице проверьте показатель корня и знак подкоренного числа: это определяет, существует ли корень в действительных числах. Для произведения и частного дополнительно проверьте, одинаковы ли показатели. При делении отдельно убедитесь, что знаменатель не равен нулю.
Задача. Вычислите √[3]{−125}. Нужно найти число, куб которого равен −125. Поскольку показатель нечётный, ответ может быть отрицательным; знак подкоренного числа не мешает существованию корня.
Ответ: √[3]{−125} = −5.
Задача. Упростите √[4]{(−3)⁴} и √[3]{(−3)³}. В обоих выражениях под корнем стоит число в степени, но показатели корней различаются по чётности. Поэтому нельзя просто убрать корень и оставить исходное число: сначала нужно применить соответствующее правило.
Ответ: √[4]{(−3)⁴} = 3; √[3]{(−3)³} = −3.
Задача. Упростите √[3]{16} · √[3]{4} и √[4]{48} : √[4]{3}. В первом выражении корни имеют одинаковый нечётный показатель, во втором — одинаковый чётный. Перед объединением во втором случае проверяем, что подкоренные числа неотрицательны, и что делитель не равен нулю.
Ответ: √[3]{16} · √[3]{4} = 4; √[4]{48} : √[4]{3} = 2.
Ошибка: считать, что из отрицательного числа можно извлечь корень чётной степени в действительных числах. Иногда это путают с корнем нечётной степени, который действительно может быть отрицательным. Проверка простая: чётная степень любого действительного числа неотрицательна, поэтому равенство с отрицательным результатом невозможно.
Ошибка: записывать √[n]{aⁿ} = a при любом n. Так делают, потому что корень кажется действием, которое просто отменяет возведение в степень, но при чётном n результат обязан быть неотрицательным. Проверьте формулу на a = −3: корень четвёртой степени из (−3)⁴ равен 3, то есть |a|.
Ошибка: называть отрицательное число арифметическим корнем. Её допускают, когда видят отрицательное подкоренное число у корня нечётной степени и забывают значение слова «арифметический». Арифметический корень по определению неотрицателен; знак минус возможен у корня нечётной степени в общем смысле, но не у арифметического корня из неотрицательного числа.
Ошибка: объединять корни с разными показателями или делить на корень, равный нулю. Формулы для произведения и частного выводятся для одинаковой степени, а деление на ноль не определено. Перед преобразованием сравните показатели, проверьте знаки подкоренных чисел и убедитесь, что знаменатель ненулевой.
Для работы с корнями понадобятся смысл степени с натуральным показателем, свойства степеней и понятие модуля числа. Степень помогает проверять корень, а модуль объясняет, почему при чётном показателе √[n]{aⁿ} = |a|. Позже корни используют при решении уравнений и неравенств, преобразовании выражений и изучении степенных функций. Поэтому понимание условий существования корня помогает не только вычислять, но и выбирать допустимые преобразования.
Почему из отрицательного числа нельзя извлечь корень чётной степени?
Чётная степень любого действительного числа неотрицательна: отрицательное число при умножении на себя чётное число раз даёт положительный результат. Поэтому действительного числа, чья чётная степень равна отрицательному числу, нет.
Может ли корень нечётной степени быть отрицательным?
Да. Например, ∛(−8) = −2, потому что (−2)³ = −8. Арифметическим корнем называют неотрицательное число, когда подкоренное число неотрицательно; корень нечётной степени из отрицательного числа может быть отрицательным.
Почему √[4]{(−2)⁴} равно 2, а не −2?
(−2)⁴ = 16, а арифметический корень четвёртой степени из 16 по определению неотрицателен. Поэтому √[4]{16} = 2; в общем случае √[n]{aⁿ} = |a| при чётном n.
Можно ли перемножить корни с разными показателями?
Правило √[n]{a} · √[n]{b} = √[n]{ab} напрямую применяется к корням с одинаковыми показателями. Для корней разных степеней сначала может потребоваться привести их к общему показателю, соблюдая условия существования корней.
При каких условиях можно разделить один корень на другой?
Корни должны иметь одинаковый показатель, а подкоренное число в знаменателе не должно быть нулём. При чётном показателе оба подкоренных числа должны быть неотрицательными; при нечётном допустимы любые действительные числа, но знаменатель-корень должен быть ненулевым.
§ 4. Арифметический корень натуральной степени
