"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на число q, причём |q| < 1. Поэтому члены прогрессии по модулю приближаются к нулю, а сумма любого количества первых членов приближается к определённому числу. Это позволяет складывать бесконечное число слагаемых и, например, переводить периодические десятичные дроби в обыкновенные. Главное — проверить условие |q| < 1 и применить формулу S = b₁/(1 − q).
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называют знаменателем прогрессии и обозначают q: например, b₂ = b₁q, b₃ = b₂q. Определение помогает находить пропущенные члены и распознавать прогрессию по отношению соседних членов.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — геометрическая прогрессия со знаменателем, для которого |q| < 1. Её члены стремятся к нулю, хотя при отрицательном q знаки членов чередуются. Условие на модуль позволяет понять, когда последовательность действительно затухает и к ней применима формула бесконечной суммы.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии — предел сумм её первых n членов при n, стремящемся к бесконечности. Иными словами, складывают всё больше членов и выясняют, к какому числу приближаются полученные суммы. Это определение объясняет, что речь идёт не о сложении «последнего» члена, которого нет, а о пределе конечных сумм.
Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S = b₁/(1 − q), где b₁ — первый член, а |q| < 1. Например, если каждый следующий член вдвое меньше предыдущего, то q = ½. Формула позволяет сразу найти результат бесконечного сложения, не вычисляя много частичных сумм.
Если |q| < 1, то при умножении на q модуль числа уменьшается: |bₙ₊₁| = |bₙ||q|. После нескольких шагов получаем |bₙ| = |b₁||q|ⁿ⁻¹, а степени числа с модулем меньше единицы становятся всё меньше и приближаются к нулю. При отрицательном q множитель меняет знак, поэтому члены скачут между положительными и отрицательными, но их модули всё равно затухают.
Чтобы вывести сумму первых n членов, обозначим её Sₙ = b₁ + b₁q + … + b₁qⁿ⁻¹. Умножим обе части на q: qSₙ = b₁q + b₁q² + … + b₁qⁿ. Теперь вычтем второе равенство из первого: одинаковые средние слагаемые сократятся, останется (1 − q)Sₙ = b₁(1 − qⁿ). При q ≠ 1 делим на 1 − q и получаем Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q).
Когда |q| < 1, множитель qⁿ стремится к нулю: по мере возведения в степень число с модулем меньше единицы становится сколь угодно малым. Значит, в формуле для Sₙ выражение 1 − qⁿ приближается к 1, а частичные суммы — к b₁/(1 − q). По определению суммы бесконечной прогрессии этот предел и есть S, поэтому S = b₁/(1 − q).
Условие |q| < 1 нельзя отбросить. Если |q| > 1, члены по модулю обычно растут, а если q = 1, каждый член равен b₁ и суммы первых n членов растут без ограничения при b₁ ≠ 0. При q = −1 члены чередуются, а частичные суммы попеременно принимают разные значения; ни в этих случаях, ни при |q| > 1 конечного предела частичных сумм в общем случае нет.
Когда известны другие данные, сначала выразите через них b₁ или q. Например, по двум соседним членам q = b₂/b₁, если b₁ ≠ 0; если известны S и b₁, из S = b₁/(1 − q) получается q = 1 − b₁/S при S ≠ 0. Если дан не первый, а n-й член, используйте bₙ = b₁qⁿ⁻¹, чтобы связать его с первым. После решения обязательно проверьте, что найденный знаменатель удовлетворяет |q| < 1.
| Что рассматриваем | Условие или формула | Что это означает |
|---|---|---|
| Знаменатель прогрессии | q = bₙ₊₁/bₙ | Отношение следующего члена к предыдущему, если bₙ ≠ 0 |
| Условие бесконечного убывания | |q| < 1 | Модули членов стремятся к нулю |
| n-й член прогрессии | bₙ = b₁qⁿ⁻¹ | Позволяет найти любой член по первому и знаменателю |
| Сумма первых n членов | Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q), q ≠ 1 | Сумма конечного числа первых членов |
| Сумма бесконечно убывающей прогрессии | S = b₁/(1 − q), |q| < 1 | Предел частичных сумм |
Сначала по отношению соседних членов найдите q, а затем проверьте, что его модуль меньше единицы. Для суммы первых n членов используйте Sₙ, а для суммы всей бесконечной прогрессии — S. Не смешивайте эти формулы: бесконечная сумма применима только при условии |q| < 1.
Первый член равен 12, а каждый следующий получен умножением предыдущего на одно и то же число. Сначала найдём это число по двум первым членам, затем проверим условие сходимости. После проверки можно подставить значения в формулу бесконечной суммы.
Ответ: 24. Хотя первые члены дают сумму 12 + 6 + 3 = 21, оставшиеся положительные члены увеличивают результат до 24. Формула учитывает все члены прогрессии, а не только записанные в условии.
Известны сумма всей прогрессии и её первый член, поэтому удобно подставить их в формулу S = b₁/(1 − q). Полученное равенство содержит только неизвестный q. После решения проверим, что значение подходит для бесконечно убывающей прогрессии.
Ответ: q = 2/5. Проверка подстановкой даёт 9/(1 − 2/5) = 9/(3/5) = 15. Условие сходимости выполнено, поэтому найденное значение знаменателя допустимо.
Повторяющаяся часть состоит из двух цифр 27, поэтому дробь можно разбить на слагаемые 0,27 + 0,0027 + 0,000027 + … . Каждое следующее слагаемое в сто раз меньше предыдущего. Получается бесконечная геометрическая прогрессия, сумму которой можно вычислить по формуле.
Ответ: 3/11. Чтобы получить обыкновенную дробь, десятичные числа в последнем выражении можно представить как 27/100 и 99/100, а затем сократить отношение. Разбиение на блоки длиной в период помогает правильно определить знаменатель прогрессии.
Применяют формулу суммы при |q| ≥ 1, забывая проверить сходимость. Это происходит потому, что формула внешне похожа на формулу суммы первых n членов и кажется универсальной. Перед вычислениями найдите q и сравните его модуль с единицей: без условия |q| < 1 формулу S = b₁/(1 − q) использовать нельзя.
Путают знаменатель q с очередным членом прогрессии. Например, в последовательности 12; 6; 3; … знаменатель равен 6/12 = ½, а не 6 или 3. Проверка простая: разделите любой следующий член на предыдущий; отношение должно быть одним и тем же для всех соседних пар.
При отрицательном q неверно раскрывают выражение 1 − q и теряют знак. Например, если q = −½, то 1 − q = 1 − (−½) = 3/2, а не ½. Подставляйте отрицательное значение в скобках и отдельно проверьте результат на простом примере с первыми членами.
Считают сумму всей прогрессии равной сумме нескольких первых членов. Такой ответ пропускает оставшиеся слагаемые, даже если они малы; малое слагаемое не обязательно равно нулю. Для проверки сравните полученную частичную сумму с формулой: при положительных членах она должна приближаться к полной сумме снизу.
Для работы с бесконечной прогрессией нужно знать определение геометрической прогрессии, формулу её n-го члена и формулу суммы первых n членов. Именно из конечной суммы Sₙ выводят выражение для суммы бесконечной прогрессии. Переход к пределу опирается на изучаемое в математическом анализе свойство: qⁿ → 0 при |q| < 1.
У этой темы есть и практическое применение: периодические десятичные дроби можно переводить в обыкновенные. Повторяющиеся блоки цифр образуют слагаемые геометрической прогрессии, а её сумма задаётся простой дробью. Так, 0,272727… превращается в 3/11.
Что означает, что геометрическая прогрессия бесконечно убывает?
Это значит, что её знаменатель удовлетворяет условию |q| < 1. Тогда модули членов становятся всё меньше и стремятся к нулю, хотя сами члены при отрицательном q могут чередовать знаки.
Почему для суммы бесконечной прогрессии необходимо условие |q| < 1?
При |q| < 1 степени qⁿ стремятся к нулю, поэтому суммы первых n членов приближаются к конечному пределу. Если |q| ≥ 1, такого предела в общем случае нет: члены не стремятся к нулю или частичные суммы продолжают изменяться.
Может ли знаменатель бесконечно убывающей прогрессии быть отрицательным?
Да. Например, при q = −½ каждый член меняет знак, но его модуль вдвое меньше модуля предыдущего. Условие сходимости — именно |q| < 1, а не обязательная положительность q.
Как найти сумму прогрессии, если известны не первый член и знаменатель, а другие данные?
Сначала используйте известные члены, чтобы найти отношение соседних членов q, или выразите неизвестную величину через формулу n-го члена. Если известны сумма и первый член, подставьте их в S = b₁/(1 − q) и решите уравнение, затем проверьте |q| < 1.
Как представить периодическую десятичную дробь в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии?
Разбейте дробь на повторяющиеся блоки, каждый из которых в десять или сто раз меньше предыдущего — в зависимости от длины периода. Получится геометрическая прогрессия; найдите её первый член и знаменатель, а затем примените формулу бесконечной суммы.
§ 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
