"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член получают умножением предыдущего на одно и то же число q, причём |q| < 1. Из-за этого модули членов приближаются к нулю, а суммы первых членов — к определённому числу. Это число называют суммой прогрессии и вычисляют по формуле S = b₁/(1 − q). Такая идея помогает находить суммы бесконечного числа слагаемых и переводить периодические десятичные дроби в обыкновенные.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число. Например, в последовательности 3, 6, 12, 24 каждый член вдвое больше предыдущего. Это правило позволяет описывать всю последовательность через одно число и её начальный член.
Знаменатель геометрической прогрессии — число q, на которое умножают предыдущий член, чтобы получить следующий; если предыдущий член не равен нулю, q = bₙ₊₁/bₙ. Например, у прогрессии 3, 6, 12 знаменатель равен 2. Он показывает, во сколько раз меняются соседние члены, и помогает проверить, является ли последовательность геометрической.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — геометрическая прогрессия со знаменателем |q| < 1. Здесь «убывающая» означает, что модули членов становятся всё меньше: сами члены при отрицательном q могут быть то положительными, то отрицательными. Это условие важно, потому что именно при нём члены прогрессии стремятся к нулю.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии — предел сумм её первых n членов при n, стремящемся к бесконечности. Иными словами, складывают всё больше членов и выясняют, к какому числу приближаются частичные суммы. Такое число позволяет осмысленно говорить о сумме бесконечного числа слагаемых.
Пусть первый член прогрессии равен b₁, а знаменатель — q. Второй член равен b₁q, третий — b₁q², потому что для перехода к каждому новому члену умножение на q повторяется. После n − 1 таких умножений получаем bₙ = b₁qⁿ⁻¹, то есть формулу n-го члена.
Для вычисления суммы первых n членов используют формулу Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q), если q ≠ 1. Её устройство можно увидеть, если записать Sₙ = b₁ + b₁q + … + b₁qⁿ⁻¹ и умножить всю сумму на q: слагаемые почти совпадут, только первое и последнее будут отличаться. Вычитание этих записей сокращает повторяющиеся слагаемые и приводит к формуле конечной суммы.
Чтобы перейти от конечной суммы к бесконечной, нужно выяснить, что происходит с qⁿ при увеличении n. При |q| < 1 каждое следующее умножение уменьшает модуль степени, поэтому qⁿ стремится к нулю. В формуле Sₙ слагаемое qⁿ тогда исчезает в пределе, и остаётся S = b₁/(1 − q).
Условие |q| < 1 не является формальностью: без него переход к пределу не срабатывает. Например, если q = 2, члены растут по модулю, а если q = −1, они чередуются и не приближаются к нулю. В таких случаях конечные суммы обычно не стремятся к одному числу, поэтому формулу бесконечной суммы применять нельзя.
Слово «убывающая» описывает именно модули членов, а не обязательно сами числа. При отрицательном q знаки соседних членов различны, но если −1 < q < 0, каждый следующий член по модулю меньше предыдущего. Чередование знаков не мешает существованию суммы: её находят той же формулой, сохраняя знак q.
| Что рассматриваем | Обозначение или условие | Формула или вывод |
|---|---|---|
| Правило образования | Постоянное отношение соседних членов | bₙ₊₁ = bₙq |
| Знаменатель | q | q = bₙ₊₁/bₙ при bₙ ≠ 0 |
| n-й член | b₁ — первый член | bₙ = b₁qⁿ⁻¹ |
| Условие бесконечного убывания | |q| < 1 | qⁿ → 0 при n → ∞ |
| Сумма первых n членов | q ≠ 1 | Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) |
| Сумма бесконечной прогрессии | |q| < 1 | S = b₁/(1 − q) |
Пользуясь таблицей, сначала определите b₁ и q, а затем проверьте условие |q| < 1. Формулу Sₙ применяют для конечного числа членов, а формулу S — только для бесконечной прогрессии, удовлетворяющей условию убывания.
Задача 1. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если b₁ = 6, q = 1/3. Сначала проверим, допустимо ли использовать формулу бесконечной суммы. Затем подставим значения, не меняя порядок величин: в числителе стоит первый член, а в знаменателе — 1 − q.
Ответ: 9. Проверить результат можно по первым членам: 6 + 2 + 2/3 + …, поэтому сумма больше 6, но остаётся конечной.
Задача 2. Установите, имеет ли прогрессия с b₁ = 8 и q = −1/2 сумму, и если имеет, найдите её. Отрицательный знаменатель означает, что соседние члены имеют разные знаки, но этого недостаточно, чтобы отвергнуть формулу. Решает вопрос модуль знаменателя.
Ответ: сумма существует и равна 16/3. Первые слагаемые имеют вид 8 − 4 + 2 − 1 + …, что объясняет чередование знаков и необходимость сохранить минус у q.
Задача 3. Представьте периодическую десятичную дробь 0,272727… в виде обыкновенной дроби. Повторяющийся блок 27 занимает два десятичных разряда, поэтому каждый следующий такой блок в записи дроби вносит вклад в 100 раз меньше предыдущего. Получается сумма бесконечной геометрической прогрессии.
Ответ: 0,272727… = 3/11. Здесь период из двух цифр повторяется через каждые два разряда, что и даёт знаменатель прогрессии 1/100.
Считать достаточным условие q < 1 — ошибка: оно подходит, например, для q = −2, но при таком знаменателе модули членов растут. Путают условие с |q| < 1, потому что забывают о числах меньше −1. Самопроверка простая: вычислите модуль q и убедитесь, что он строго меньше единицы.
Подставлять в формулу бесконечной суммы прогрессию с |q| ≥ 1 нельзя. Иногда формулу применяют сразу, не проверив, стремятся ли члены к нулю; тогда полученное число не является суммой прогрессии. Перед вычислением отдельно запишите проверку условия, а если она не выполнена — остановитесь.
Можно перепутать первый член и знаменатель в выражении S = b₁/(1 − q). Это случается, когда оба обозначения подставляют в формулу без определения, хотя b₁ задаёт начало последовательности, а q — отношение соседних членов. Проверьте себя по первым двум членам: b₂ должно равняться b₁q.
При отрицательном q часто теряют знак и заменяют 1 − q на 1 − |q|. Так ошибаются, потому что воспринимают знаменатель прогрессии только как величину, не учитывая чередование знаков. Подставляйте q со знаком в исходное выражение: для q = −1/2 получаем 1 − (−1/2) = 3/2.
Для работы с бесконечной прогрессией нужны умения находить её n-й член и сумму первых n членов: конечная формула помогает вывести формулу бесконечной суммы. Также используется понятие предела последовательности — числа, к которому приближаются её члены или частичные суммы. Если понятие предела пока непривычно, достаточно помнить: при |q| < 1 степени qⁿ становятся сколь угодно малыми.
Геометрическая прогрессия помогает переводить периодические десятичные дроби в обыкновенные: десятичную запись раскладывают на бесконечную сумму повторяющихся вкладов. Тот же способ суммирования встречается при изучении бесконечных рядов — сумм, у которых число слагаемых не ограничено. Поэтому проверка сходимости здесь важна не меньше, чем вычисления.
Почему для бесконечной суммы нужно условие |q| < 1?
При |q| < 1 степени qⁿ стремятся к нулю, поэтому сумма первых n членов приближается к одному числу. Если |q| ≥ 1, слагаемые обычно не становятся сколь угодно малыми, и предела сумм может не быть.
Можно ли складывать бесконечную прогрессию с отрицательным знаменателем?
Да, если −1 < q < 0. Тогда члены чередуют знаки, но их модули убывают к нулю, а формула S = b₁/(1 − q) остаётся верной.
Чем сумма бесконечной прогрессии отличается от суммы первых n членов?
Sₙ — сумма определённого числа первых членов, а S — предел таких сумм при n → ∞. Для бесконечно убывающей прогрессии конечные суммы всё ближе подходят к S.
Почему в формуле суммы знаменатель равен 1 − q?
Формула конечной суммы имеет вид Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q). При |q| < 1 с ростом n величина qⁿ стремится к нулю, поэтому остаётся S = b₁/(1 − q).
Как представить периодическую десятичную дробь как геометрическую прогрессию?
Разделите запись на повторяющиеся блоки, учитывая, что каждый следующий блок сдвинут в десятичной записи на несколько разрядов. Получится геометрическая прогрессия; проверьте |q| < 1 и примените формулу её суммы.
4.5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
