"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением на число q, причём |q| < 1. Модули её членов становятся всё меньше и стремятся к нулю, а сумма бесконечного числа членов имеет конечное значение. Главное соотношение: S = a₁ / (1 − q). Оно позволяет находить точную сумму и оценивать, насколько близка к ней сумма первых нескольких членов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число. Например, в последовательности 2; 6; 18; … каждый член после первого в 3 раза больше предыдущего. Это определение помогает увидеть общий способ построения всех членов прогрессии.
Знаменатель геометрической прогрессии — число q, на которое умножают каждый член, чтобы получить следующий: aₙ₊₁ = aₙq. Если известны два соседних ненулевых члена, то q = a₂ / a₁. Знаменатель нужен для нахождения любого члена и суммы прогрессии.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это геометрическая прогрессия, для которой |q| < 1. При таком условии модули её членов уменьшаются и стремятся к нулю. Слово «убывающая» относится именно к модулям, поэтому знаки членов могут чередоваться.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии — число, к которому стремятся суммы первых n членов при неограниченном увеличении n. Она обозначается S и вычисляется по формуле S = a₁ / (1 − q). Это не обычное сложение всех членов по одному, а предел последовательности конечных сумм.
Если |q| < 1, то при переходе к следующему члену его модуль умножается на число меньше единицы. Например, при q = ½ модули последовательно уменьшаются вдвое: 8, 4, 2, 1, … Каждый новый член меньше предыдущего по модулю, поэтому модули приближаются к нулю.
Для первых n членов геометрической прогрессии используется формула Sₙ = a₁(1 − qⁿ) / (1 − q). Она получается из вычитания двух записей одной и той же суммы: Sₙ = a₁ + a₁q + … + a₁qⁿ⁻¹ и qSₙ = a₁q + … + a₁qⁿ. После вычитания почти все слагаемые сокращаются, остаётся Sₙ(1 − q) = a₁(1 − qⁿ).
При |q| < 1 степени qⁿ стремятся к нулю, потому что каждое умножение на q уменьшает модуль результата. Поэтому в формуле конечной суммы выражение 1 − qⁿ приближается к 1. Значит, Sₙ приближается к числу a₁ / (1 − q), которое и называют суммой бесконечной прогрессии.
Если q отрицательно, знак каждого следующего члена меняется: например, при q = −½ получаются положительный, отрицательный, положительный и снова отрицательный члены. Однако при переходе к следующему члену модуль всё равно умножается на ½. Поэтому чередование знаков не отменяет условия |q| < 1 и не мешает существованию суммы.
Точность приближения можно определить по остатку Rₙ = S − Sₙ = a₁qⁿ / (1 − q). На практике чаще находят его модуль: |Rₙ| = |a₁qⁿ / (1 − q)|. Если он меньше заданной погрешности, сумма первых n членов подходит как приближённое значение полной суммы.
| Характеристика | Формула или условие | Что означает |
|---|---|---|
| Знаменатель прогрессии | q = a₂ / a₁ | Один и тот же множитель перехода от члена к члену |
| Условие бесконечного убывания | |q| < 1 | Модули членов уменьшаются и стремятся к нулю |
| n-й член | aₙ = a₁qn−1 | Позволяет найти любой член прогрессии |
| Сумма первых n членов | Sₙ = a₁(1 − qn) / (1 − q) | Конечная сумма первых n членов |
| Сумма бесконечной прогрессии | S = a₁ / (1 − q) | Предел сумм первых n членов |
| Остаток после первых n членов | Rₙ = S − Sₙ = a₁qn / (1 − q) | Разница между полной суммой и приближённой суммой |
Сначала по двум соседним членам находят q и проверяют условие |q| < 1. Затем выбирают нужную формулу: для конечного количества членов используют Sₙ, а для всей бесконечной прогрессии — S. Если требуется оценить точность, вычисляют модуль остатка Rₙ.
Найдём сумму прогрессии 6; 3; 1,5; … Первый член равен a₁ = 6, а знаменатель можно найти делением соседних членов. После проверки условия применим формулу бесконечной суммы.
Ответ: 12. Сумма первых членов постепенно приближается к этому числу, хотя членов прогрессии бесконечно много.
Рассмотрим прогрессию 8; −4; 2; −1; … Здесь первый член равен 8, а соседние члены имеют разные знаки. Это означает, что знаменатель отрицательный, но нужно проверить не знак q, а его модуль.
Ответ: 16 / 3. Знаки слагаемых чередуются, поэтому часть положительных и отрицательных членов взаимно компенсируется, но остаток сумм имеет конечный предел.
Пусть a₁ = 12, а сумма бесконечной прогрессии равна 16. Нужно восстановить знаменатель, а затем найти третий член. Для этого сначала используем формулу суммы, а после неё — формулу n-го члена.
Ответ: q = ¼, a₃ = ¾. Проверка показывает, что |q| < 1, значит, найденная прогрессия действительно бесконечно убывающая.
Формулу S = a₁ / (1 − q) иногда применяют при |q| ≥ 1. В таком случае члены не стремятся к нулю, поэтому конечная сумма обычно не существует. Проверяйте условие |q| < 1 до подстановки чисел.
Некоторые принимают сумму бесконечной прогрессии за первый член или за сумму первых двух-трёх членов. Но S — это предел всех сумм Sₙ, а не отдельное слагаемое. Полезно мысленно сравнить ответ с несколькими первыми частичными суммами.
При отрицательном q часто записывают знаменатель формулы как 1 + q. Ошибка возникает из-за того, что знак минус перед отрицательным числом забывают учесть отдельно: в формуле всегда стоит 1 − q. Подставляйте q в скобках: 1 − (−½).
Чередование знаков иногда ошибочно считают признаком отсутствия убывания. На самом деле проверяют уменьшение модулей, а не самих чисел на числовой прямой. Если |q| < 1, такая прогрессия является бесконечно убывающей.
До изучения темы нужны формулы n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии, правила действий со степенями и понимание модуля числа. Новая формула подготавливает к понятию предела последовательности: сумма бесконечной прогрессии — это предел Sₙ. Эти идеи применяются в периодических дробях, приближённых вычислениях и математических моделях, где величина постепенно уменьшается.
Почему для бесконечной прогрессии можно получить конечную сумму?
Каждый следующий член имеет меньший модуль, чем предыдущий, потому что |q| < 1. Поэтому добавляемые слагаемые становятся всё меньше, а суммы первых членов приближаются к определённому конечному числу.
Что произойдёт, если |q| равно 1 или больше 1?
При |q| = 1 члены не стремятся к нулю, поэтому сумма не имеет конечного предела. При |q| > 1 модули членов растут, и сумма первых членов также не приближается к конечному числу.
Можно ли считать прогрессию бесконечно убывающей, если её члены чередуются по знаку?
Да, можно, если |q| < 1. Отрицательный q меняет знак каждого следующего члена, но его модуль умножается на число, меньшее единицы.
Как вывести формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии?
Сначала используют формулу Sₙ = a₁(1 − qⁿ) / (1 − q). При |q| < 1 степень qⁿ стремится к нулю, поэтому при неограниченном увеличении n получается S = a₁ / (1 − q).
Сколько членов нужно взять, чтобы приближённая сумма была достаточно точной?
Нужно оценить остаток Rₙ = a₁qⁿ / (1 − q) и выбрать такое n, чтобы его модуль был меньше допустимой погрешности. Чем ближе |q| к единице, тем больше членов обычно требуется.
8.3*. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
