8.2. Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Определения и обозначения

Сумма первых n членов геометрической прогрессии — это выражение a₁ + a₂ + … + aₙ, которое обозначают Sₙ. Она показывает, сколько получится при сложении не всех членов последовательности, а только первых n. Такое обозначение помогает записывать длинные суммы кратко и находить их по формуле.

Знаменатель геометрической прогрессии — число q, на которое умножают каждый член, чтобы получить следующий. Например, в последовательности 2, 6, 18, … знаменатель равен 3. Знание q позволяет восстановить все члены и применить формулу суммы.

При q ≠ 1 сумма первых n членов вычисляется по формуле Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Здесь a₁ — первый член, q — знаменатель, а n — число складываемых членов. Формула заменяет последовательное сложение и особенно удобна при большом n.

Если q = 1, все члены прогрессии одинаковы, потому что умножение на единицу ничего не меняет. Поэтому сумма равна Sₙ = n·a₁: одно и то же число складывается n раз. Этот случай рассматривают отдельно, поскольку в общей формуле появляется деление на ноль.

Как это устроено

Каждый член геометрической прогрессии выражается через первый: a₂ = a₁q, a₃ = a₁q² и так далее. Поэтому сумма первых n членов имеет вид Sₙ = a₁ + a₁q + a₁q² + … + a₁qⁿ⁻¹. Последняя степень равна n − 1, потому что первый член содержит q⁰, а каждый следующий увеличивает показатель на единицу.

Чтобы вывести формулу, умножим всю сумму на q: qSₙ = a₁q + a₁q² + … + a₁qⁿ. Такой шаг нужен потому, что после умножения каждое слагаемое, кроме первого и последнего, совпадёт со слагаемым исходной суммы. Это создаёт возможность сократить почти всю запись вычитанием.

Вычтем исходное равенство из умноженного: qSₙ − Sₙ = (a₁q + a₁q² + … + a₁qⁿ) − (a₁ + a₁q + … + a₁qⁿ⁻¹). Средние слагаемые попарно уничтожаются, и остаются только a₁qⁿ − a₁. Поэтому левая часть равна Sₙ(q − 1), а правая превращается в a₁(qⁿ − 1).

Получаем Sₙ(q − 1) = a₁(qⁿ − 1). Если q ≠ 1, можно разделить обе части на q − 1 и получить Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Деление допустимо именно потому, что условие гарантирует ненулевой знаменатель.

Умножив числитель и знаменатель дроби на −1, получаем равносильную запись Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Значение дроби не меняется, потому что знак меняется одновременно сверху и снизу. Такая форма часто удобнее при |q| < 1 или при отрицательном q.

Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии

Сначала определите, равен ли знаменатель единице, и только потом выбирайте строку таблицы. В основном случае подставьте a₁, q и n, отдельно вычислите степень qⁿ и выполните действия со скобками. Равносильную запись выбирайте тогда, когда она делает вычисления короче.

Разбор задач

Задача 1. Найдите сумму первых 6 членов прогрессии 2, 6, 18, … Сначала нужно понять, что последовательность действительно геометрическая: каждый следующий член получается умножением на 3.

1. Определяем данные: a₁ = 2, q = 3, n = 6.
2. Так как q ≠ 1, применяем S₆ = 2(3⁶ − 1)/(3 − 1).
3. Вычисляем: S₆ = 2(729 − 1)/2 = 728.

Ответ: 728.

Задача 2. Пусть a₁ = 81, q = 1/3. Найдём сумму первых 5 членов. Удобнее использовать форму с единицей в начале: S₅ = a₁(1 − q⁵)/(1 − q).

1. Подставляем данные: S₅ = 81(1 − (1/3)⁵)/(1 − 1/3).
2. Вычисляем степень: (1/3)⁵ = 1/243, поэтому 1 − 1/243 = 242/243.
3. Получаем S₅ = 81·242/243 ÷ 2/3 = 121.

Ответ: 121.

Задача 3. Сумма первых 4 членов равна 30, a₁ = 2, q > 0. Нужно найти знаменатель, поэтому составим уравнение, а затем учтём ограничение на q.

1. Записываем 30 = 2(q⁴ − 1)/(q − 1), где q ≠ 1.
2. Умножаем на q − 1: 30q − 30 = 2q⁴ − 2, или q⁴ − 15q + 14 = 0.
3. Проверяем положительные корни: q = 1 является корнем преобразованного уравнения, но не подходит для этой формулы; после сокращения исходной суммы получаем 2(1 + q + q² + q³) = 30. При q > 0 решение q = 2.

Ответ: q = 2.

Типичные ошибки

Подстановка q = 1 в формулу с q − 1 приводит к делению на ноль. Ошибку допускают, когда не проверяют условие перед вычислениями. Если q = 1, сразу используйте Sₙ = n·a₁.

Иногда в формуле пишут qⁿ⁻¹ вместо qⁿ или наоборот. Показатель n − 1 относится к последнему члену при записи самой последовательности, а в формуле суммы появляется qⁿ. Проверка: выведите формулу умножением суммы на q и вычитанием.

Потеря скобок в дроби a₁(qⁿ − 1)/(q − 1) меняет порядок действий. Нельзя делить только один фрагмент числителя, если вся скобка стоит над знаменателем. Записывайте числитель и знаменатель целиком и подставляйте значения после этого.

Неверно выбранные a₁ или q дают неправильную всю сумму. Такое происходит, если не проверить, получается ли каждый следующий член умножением на одно и то же число. Найдите отношение соседних членов и убедитесь, что первый член действительно стоит в начале данной последовательности.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать определение геометрической прогрессии, её первый член, знаменатель и формулу n-го члена. Эти сведения позволяют правильно выразить каждый член через a₁ и q. Без них трудно распознать прогрессию в условии.

При выводе и применении формулы используются действия с буквенными выражениями, степенями и дробями. Нужно уметь раскрывать скобки, сокращать подобные слагаемые и преобразовывать дроби. Эти навыки помогают избежать вычислительных ошибок.

Формула суммы применяется в уравнениях и текстовых задачах, где нужно найти неизвестный параметр или число членов. Она также служит основой для перехода к сумме бесконечной геометрической прогрессии. Поэтому уверенное владение формулой пригодится в следующих темах.

Что запомнить

• Sₙ — сумма первых n членов геометрической прогрессии.
• При q ≠ 1: Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
• Равносильная форма: Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q).
• При q = 1: Sₙ = n·a₁.
• Для вычисления суммы нужны a₁, q и n.
• Формула получается умножением суммы на q и вычитанием.
• Перед применением формулы нужно проверить условие q ≠ 1.