4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Определения и обозначения

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем прогрессии и обозначают q: q = bₙ₊₁ / bₙ, если bₙ ≠ 0. Например, в последовательности 3, 6, 12, 24 знаменатель равен 2. Знание q позволяет находить члены прогрессии и понимать, как меняются её числа.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии — результат сложения её членов от первого до n-го включительно. Её обозначают Sₙ: Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ, где b₁ — первый член, а n — количество слагаемых. Для q ≠ 1 сумму находят по формуле Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1), или по равносильной записи Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Обозначения помогают быстро составить вычисление, не складывая каждый член отдельно.

Как это устроено

Чтобы понять формулу суммы, запишем её через первый член и знаменатель: Sₙ = b₁ + b₁q + b₁q² + … + b₁qⁿ⁻¹. Степень у последнего слагаемого равна n − 1, потому что от первого члена до n-го нужно сделать n − 1 умножений на q. Такая запись показывает, что сумма состоит из n членов, каждый следующий из которых в q раз больше предыдущего. Она служит основой вывода формулы.

Умножим всю сумму на q: qSₙ = b₁q + b₁q² + … + b₁qⁿ. Теперь вычтем из этого равенства исходное Sₙ. Все промежуточные слагаемые встретятся по одному разу с плюсом и один раз с минусом, поэтому сократятся. Останутся только крайние: qSₙ − Sₙ = b₁qⁿ − b₁, то есть (q − 1)Sₙ = b₁(qⁿ − 1).

Если q не равен 1, можно разделить обе части последнего равенства на q − 1 и получить формулу Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Иногда удобнее записать её как Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q): числитель и знаменатель просто поменяли знаки, поэтому значение не изменилось. Выбор записи зависит от удобства вычислений, но нельзя менять знак только в числителе или только в знаменателе. Если q = 1, делить на q − 1 нельзя, и нужна отдельная формула.

При q = 1 каждый член прогрессии равен b₁, так как умножение на единицу ничего не меняет. Поэтому сумма первых n членов — это b₁, сложенное n раз: Sₙ = nb₁. Отдельный случай нужен не из-за нового способа сложения, а потому что основная формула содержит деление на q − 1. Проверка значения q до подстановки помогает избежать деления на ноль.

Формулы суммы первых n членов

Сначала проверь, равен ли знаменатель прогрессии единице. Если нет, выбирай любую из двух равносильных записей и подставляй b₁, q и n; если да — используй Sₙ = nb₁. При отрицательном q особенно внимательно вычисляй степень qⁿ: её знак зависит от чётности n.

Разбор задач

Найдём сумму первых пяти членов прогрессии 2, 6, 18, … . Здесь первый член b₁ = 2, а знаменатель q = 3, поскольку 6 : 2 = 3 и 18 : 6 = 3. Число слагаемых равно n = 5. Нужно определить, какую формулу применить, и аккуратно вычислить степень знаменателя.

1. Проверяем условие для формулы: q = 3, значит, q ≠ 1. Используем Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Эта запись подходит, потому что знаменатель дроби не будет равен нулю.

2. Подставляем известные значения: S₅ = 2(3⁵ − 1)/(3 − 1). Здесь степень равна пяти, так как мы складываем пять членов, а не четыре. Вычисляем 3⁵ = 243.

3. Считаем выражение: S₅ = 2 · (243 − 1)/2 = 2 · 242/2 = 242. Двойки в числителе и знаменателе сокращаются, поэтому итог равен 242. Это сумма первых пяти членов.

4. Проверяем результат сложением членов: пятый член равен 2 · 3⁴ = 162, поэтому сумма первых пяти — 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242. Совпадение подтверждает, что степень и подстановка выполнены верно. При необходимости можно сверить и количество сложенных членов.

Ответ: 242.

Рассмотрим также случай q = 1, чтобы увидеть, почему для него нужна отдельная формула. Пусть b₁ = 7 и требуется сумма первых четырёх членов. Все члены равны 7, так что здесь достаточно умножить первый член на число слагаемых, не используя формулу с делением.

1. Записываем данные: b₁ = 7, n = 4, q = 1. Значит, применяем Sₙ = nb₁. Этот выбор предотвращает деление на ноль в основной формуле.

2. Подставляем значения: S₄ = 4 · 7 = 28. Проверка прямым сложением даёт 7 + 7 + 7 + 7 = 28. Ответ: 28.

Типичные ошибки

• Подставляют q = 1 в формулу с дробью и получают деление на ноль. Так происходит, когда условие q ≠ 1 забывают проверить перед вычислением. Сначала найди знаменатель прогрессии; если он равен единице, используй Sₙ = nb₁.

• Путают число членов n со степенью последнего члена и записывают qⁿ⁻¹ в формулу суммы. Число n − 1 действительно является степенью q в n-м члене, но в формуле суммы стоит qⁿ. Проверь результат на коротком случае n = 1: сумма должна равняться b₁.

• Меняют знак только в одной части выражения, например заменяют q − 1 на 1 − q, но оставляют qⁿ − 1. Из-за этого сумма получает неверный знак. При переходе к другой записи поменяй знаки и в числителе, и в знаменателе, а затем проверь вычисление сложением.

• Находят знаменатель прогрессии по разности соседних членов, а не по их отношению. Разность подходит для арифметической прогрессии, тогда как в геометрической каждый член получается умножением. Проверь, что отношение соседних членов одинаково: b₂ / b₁ = b₃ / b₂.

Связь с другими темами

Сумма геометрической прогрессии связана с формулой её n-го члена: bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Именно из этой формулы получается запись каждого слагаемого суммы через b₁ и q. При вычислении знаменателя используется деление соседних членов, поэтому важно отличать геометрическую прогрессию от арифметической, где постоянна разность. Умение работать со степенями также необходимо при подстановке qⁿ.

Что запомнить

• Геометрическая прогрессия получается умножением каждого члена на одно и то же число q.

• Для q ≠ 1 сумма первых n членов равна Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q).

• Если q = 1, то Sₙ = nb₁, потому что все члены прогрессии одинаковы.

• Перед вычислением определи b₁, q и n, а после подстановки проверь степень и знаки.