"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называют знаменателем и обозначают q. Зная первый член и знаменатель, можно найти любой член последовательности по формуле bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Геометрическая прогрессия помогает описывать повторяющееся увеличение или уменьшение величины, а также решать задачи о процентах и суммах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовая последовательность — это упорядоченный набор чисел, каждому из которых соответствует свой номер. Члены записывают, например, так: b₁, b₂, b₃, …, bₙ, где b₁ — первый член, а bₙ — член с номером n. Индекс помогает точно указать, какое число нужно найти или сравнить. Последовательности используют, когда значения идут в определённом порядке.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получают умножением предыдущего на одно и то же число. Например, если каждый раз умножать на 3, то из 2 получится ряд 2, 6, 18, 54. Такое правило позволяет продолжать последовательность и находить её члены. Оно также отличает геометрическую прогрессию от последовательности, где каждый раз прибавляют одно и то же число.
Знаменатель геометрической прогрессии — постоянное отношение соседних членов: q = bₙ₊₁ / bₙ, если bₙ не равен нулю. Буква q обозначает множитель, на который переходят от одного члена к следующему. Например, отношение 12 к 6 равно 2, значит, второй член вдвое больше первого. Зная q, можно восстановить каждый следующий член.
Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Она выражает любой член через первый член b₁ и знаменатель q. Например, чтобы найти пятый член, достаточно подставить n = 5: b₅ = b₁q⁴. Формула особенно удобна, когда нужно найти отдалённый член, не выписывая все предыдущие.
По определению, для перехода к следующему члену предыдущий умножают на q, поэтому bₙ₊₁ = bₙq. Один и тот же множитель сохраняется, потому что именно так задано правило геометрической прогрессии. Если на очередном шаге множитель изменится, отношение соседних членов уже не будет постоянным. Например, при q = 2 каждый следующий член вдвое больше предыдущего.
Формулу n-го члена можно получить, последовательно подставляя правило перехода. Второй член равен b₂ = b₁q, третий — b₃ = b₂q = b₁q², четвёртый — b₄ = b₁q³. Каждый новый переход добавляет ещё один множитель q, поэтому после n − 1 переходов получается bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Для первого члена множителей q ещё нет: b₁ = b₁q⁰.
Чтобы проверить, является ли последовательность геометрической, найди отношения соседних членов: b₂ / b₁, b₃ / b₂ и так далее. Если эти отношения одинаковы, одно и то же число служит знаменателем для всей последовательности. Проверять нужно все доступные переходы, а не только один: совпадение двух первых отношений ещё не гарантирует общего правила. Деление используют, когда знаменатель отношения не равен нулю.
Значение q влияет на знаки членов и на их величину. Если q положителен, умножение не меняет знак, поэтому члены сохраняют знак первого; если q отрицателен, знак меняется при каждом переходе. Модуль q показывает, увеличивается или уменьшается модуль членов: при |q| больше 1 он растёт, при 0 < |q| < 1 уменьшается, а при |q| = 1 не меняется. Если первый член равен нулю, все члены по правилу умножения будут нулевыми.
Неизвестный член находят подстановкой известных b₁, q и n в формулу, а первый член — выразив его из равенства bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Если известны два соседних ненулевых члена, знаменатель равен отношению следующего к предыдущему. Когда члены не соседние, их можно выразить через b₁ и q и разделить полученные равенства: степень q будет равна числу переходов между номерами. После нахождения q подставь его в одно из исходных равенств.
| Что найти или проверить | Соотношение | Условие или пояснение |
|---|---|---|
| Проверка определения | bₙ₊₁ / bₙ = q | Отношения всех соседних членов должны совпадать; деление возможно при bₙ ≠ 0. |
| Знаменатель | q = bₙ₊₁ / bₙ | Для соседних членов, если предыдущий член не равен нулю. |
| Следующий член | bₙ₊₁ = bₙq | Умножь текущий член на знаменатель. |
| n-й член | bₙ = b₁qⁿ⁻¹ | Первый член и знаменатель позволяют найти член с номером n. |
| Связь трёх последовательных членов | bₙ² = bₙ₋₁bₙ₊₁ | Следует из того, что оба соседних отношения равны q. |
Сначала определи, что именно требуется найти: отношение, следующий член или член с заданным номером. Затем выбери соответствующую строку и проверь её условие, особенно если используешь деление. Связь трёх последовательных членов удобна для проверки, но сама по себе не заменяет проверку постоянства отношений во всей последовательности.
Задача 1. Определи, является ли последовательность 3, 6, 12, 24 геометрической, и укажи её знаменатель. Нужно проверить все переходы между соседними членами: одного удачного отношения для вывода недостаточно. Если каждое отношение совпадёт, это общее значение и будет знаменателем. Такой способ напрямую проверяет определение.
Ответ: последовательность геометрическая, её знаменатель равен 2. Каждый член получается умножением предыдущего на 2. Совпадение всех трёх отношений подтверждает, что правило действует на каждом переходе.
Задача 2. В геометрической прогрессии b₁ = 5 и q = −2. Найди b₅ и укажи, какие знаки имеют её члены. Пятый член можно вычислить без последовательной записи всех четырёх переходов, используя формулу n-го члена. Знак удобно проверить отдельно по значению знаменателя. Это помогает не потерять минус при возведении числа в степень.
Ответ: b₅ = 80; знаки членов чередуются, начиная с положительного. Четвёртая степень отрицательного числа положительна, поэтому пятый член положительный. При этом чередование знаков относится к членам последовательности, а не к результату одного отдельного вычисления.
Задача 3. В геометрической прогрессии b₂ = 12 и b₅ = 96. Найди возможные значения q и первый член. Между вторым и пятым членами три перехода, поэтому отношение этих членов даст куб q. Это позволяет сначала найти знаменатель, не зная b₁. Затем первый член восстановим из выражения для b₂.
Ответ: q = 2, b₁ = 6. Здесь возможное значение q только одно, потому что уравнение q³ = 8 имеет единственное действительное решение. После подстановки найденных данных получаем b₂ = 12 и b₅ = 96, как указано в условии.
В формуле n-го члена иногда пишут bₙ = b₁qⁿ. Так ошибаются, забывая, что у первого члена ещё нет множителей q, а переходов от него до n-го члена всего n − 1. Проверка проста: подставь n = 1 — формула должна дать b₁. Если получается b₁q, показатель выбран неверно.
Знаменатель прогрессии путают с разностью соседних членов. Это происходит потому, что в арифметической прогрессии действительно сравнивают члены вычитанием, но в геометрической каждый раз умножают на одно и то же число. Для проверки раздели следующий член на предыдущий, а не вычитай их. Например, у 3, 6, 12 разности различны, но отношения равны 2.
Иногда знаменатель находят по одному отношению и сразу объявляют последовательность геометрической. Одного перехода недостаточно: остальные отношения могут оказаться другими, и правило умножения тогда не действует на всей последовательности. Проверь каждую пару соседних членов, для которой деление допустимо. Все полученные отношения должны совпадать.
Отрицательный знаменатель порой принимают за признак того, что все члены отрицательные. Ошибка возникает, если не учитывать, что умножение на отрицательное число меняет знак на каждом шаге. Проследи несколько переходов: плюс сменится минусом, затем снова плюсом. Поэтому знаки ненулевых членов чередуются, а не остаются отрицательными.
Для работы с геометрической прогрессией нужно понимать, как обозначают члены числовой последовательности, делят числа и возводят числа в натуральную степень. Эти навыки помогают проверять отношения и применять формулу n-го члена. Позже геометрическая прогрессия используется при изучении суммы её первых членов и сложных процентов. Её правило также подходит для задач, где величина на каждом шаге повторно умножается на один и тот же коэффициент.
Как быстро проверить, является ли последовательность геометрической?
Раздели каждый следующий член на предыдущий и сравни полученные отношения. Если они одинаковы для всех соседних ненулевых членов, последовательность геометрическая, а общее отношение — её знаменатель.
Почему в формуле n-го члена показатель равен n − 1?
Чтобы перейти от первого члена ко второму, нужно умножить на q один раз, а до третьего — два раза. До n-го члена происходит n − 1 переходов, поэтому bₙ = b₁qⁿ⁻¹.
Может ли знаменатель геометрической прогрессии быть отрицательным?
Да, знаменатель может быть отрицательным. Тогда при каждом переходе знак меняется, поэтому знаки ненулевых членов чередуются.
Как найти знаменатель, если известны два члена, не стоящие рядом?
Запиши оба члена через первый член и q по формуле bₙ = b₁qⁿ⁻¹, затем раздели равенства. Например, для b₂ и b₅ получится b₅ / b₂ = q³, откуда q находят извлечением кубического корня.
Чем геометрическая прогрессия отличается от арифметической?
В геометрической прогрессии постоянным является отношение соседних членов: каждый раз умножают на q. В арифметической прогрессии постоянна разность соседних членов: каждый раз прибавляют одно и то же число.
4.4. Геометрическая прогрессия
