"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Арифметическая прогрессия — последовательность, где соседние члены отличаются на одно и то же число. Если нужно сложить первые n её членов, не обязательно выполнять сложение по одному: суммы равноудалённых от начала и конца членов совпадают. Поэтому сумму можно найти по первому и последнему членам или по первому члену и разности прогрессии. Эти формулы помогают быстрее решать вычислительные и текстовые задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число. Это число называют разностью прогрессии и обозначают d: например, если каждый раз прибавляют 4, то d = 4. Разность помогает описать, как меняются члены, и найти любой из них. Она может быть положительной, отрицательной или равной нулю.
Первые n членов прогрессии — это числа a₁, a₂, …, aₙ, записанные от первого до n-го. Здесь n показывает, сколько членов мы рассматриваем, то есть сколько чисел войдёт в сумму. Это не обязательно «номер последнего числа в произвольной записи»: в обозначениях a₁, …, aₙ последний из выбранных членов именно aₙ. Уточнение числа членов не даёт случайно включить лишнее слагаемое или пропустить нужное.
Сумму первых n членов обозначают Sₙ. Запись Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ означает, что складываются все члены прогрессии от первого до n-го включительно. Индекс n указывает количество слагаемых, а не значение суммы. Это обозначение позволяет коротко записывать задачу и использовать общие формулы вместо длинного сложения.
Среднее арифметическое первого и n-го членов равно (a₁ + aₙ)/2. Оно показывает число, которое находится посередине между крайними членами, и совпадает со средним значением всех членов прогрессии. Такая связь возникает потому, что член в начале и член на таком же расстоянии от конца в сумме дают одно и то же. Поэтому среднее арифметическое крайних членов помогает быстро найти сумму.
Сложение удобно начать с пары крайних членов: a₁ + aₙ. Следующая пара — a₂ + aₙ₋₁ — даёт ту же сумму, ведь при переходе на один шаг вправо первый член увеличивается на d, а второй уменьшается на d. Эти изменения взаимно уничтожаются. По той же причине равны суммы всех пар, равноудалённых от начала и конца.
Если число членов чётное, все они образуют n/2 пар с одинаковой суммой a₁ + aₙ. Тогда сумма равна (n/2)(a₁ + aₙ). Если n нечётно, после образования пар остаётся средний член; он равен среднему арифметическому крайних. В этом случае результат всё равно можно записать как Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2: формула одновременно учитывает пары и середину.
Чтобы получить формулу только через первый член и разность, подставим вместо последнего члена выражение aₙ = a₁ + d(n − 1). Тогда Sₙ = n(a₁ + a₁ + d(n − 1))/2. Раскрывая скобки и сокращая, получаем Sₙ = na₁ + d·n(n − 1)/2. Так становится видно, что сумма состоит из n первых членов, как если бы каждый был равен a₁, и добавок, возникающих из-за постоянного шага d.
Формулу выбирают по данным задачи, чтобы не вводить лишние неизвестные. Если даны a₁ и aₙ, сразу подставляют их в Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2; если известны a₁ и d, используют Sₙ = na₁ + d·n(n − 1)/2. Когда дано a₁ и требуется формула через крайние члены, сначала находят aₙ. Перед вычислением полезно выписать известные величины и проверить, что они подходят к выбранной формуле.
Формулы можно применять и в обратных задачах, когда известна сумма, а требуется найти число членов, разность или крайний член. Для этого подставляют известные данные и решают полученное уравнение; например, зависимость суммы от n часто приводит к квадратному уравнению. После решения нужно проверить допустимость результата: число членов должно быть натуральным, а найденные члены и разность — удовлетворять условию. Если уравнение дало несколько корней, подходят только те, которые имеют смысл в задаче.
| Что известно | Формула для Sₙ | Когда удобно применять |
|---|---|---|
| Первый и n-й члены a₁ и aₙ | Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 | Когда известны оба крайних члена |
| Первый член a₁ и разность d | Sₙ = na₁ + d·n(n − 1)/2 | Когда известны a₁ и d |
| Число членов n | Число слагаемых в сумме равно n | При составлении суммы и проверке подстановки |
Сначала найди в условии известные величины и выбери соответствующую строку таблицы. Если для первой формулы не хватает aₙ, его можно вычислить по формуле n-го члена. После подстановки проверь, что в сумме учтено ровно n слагаемых.
Найдите сумму первых 10 членов прогрессии 3, 7, 11, … . Сначала определим постоянное изменение: от 3 к 7 и от 7 к 11 прибавляется 4, значит, d = 4 и a₁ = 3. Чтобы применить формулу через крайние члены, найдём десятый член, а затем сложим крайние значения и учтём количество членов.
Ответ: 210.
Найдите сумму первых 20 членов, если a₁ = 12 и d = −2. Здесь сразу известны первый член и разность, поэтому не требуется сначала подбирать другой способ: воспользуемся формулой Sₙ = na₁ + d·n(n − 1)/2. Знак минус показывает, что члены убывают; его нужно сохранить при вычислениях. Отдельно проверим последний член, чтобы убедиться, что убывание учтено верно.
Проверка через крайние члены даёт 20(12 + (−26))/2 = −140. Ответ: −140.
В театральном зале в первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше. Сколько мест в первых 15 рядах? Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию: a₁ = 18, d = 2, n = 15. Чтобы сложить места, найдём число кресел в пятнадцатом ряду и применим формулу через крайние члены. Так мы учитываем все ряды, а не только первый и последний.
Ответ: в первых 15 рядах 480 мест.
В формулу Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 иногда подставляют разность d вместо последнего члена. Так происходит, когда формулу помнят не полностью или смешивают её с формулой n-го члена. Перед вычислением подпиши, какие величины стоят в формуле: здесь нужны именно первый и n-й члены. Если известно d, сначала найди aₙ либо выбери формулу через a₁ и d.
В формуле aₙ = a₁ + d(n − 1) могут написать a₁ + dn. Ошибка возникает из-за того, что число членов принимают за число переходов от первого члена. Но от первого до n-го выполняется n − 1 шагов: например, до четвёртого члена — три шага. Проверка на небольшом n помогает заметить лишнее прибавление d.
Ещё одна путаница — считать aₙ суммой первых n членов. Индекс n показывает место одного члена, а Sₙ обозначает сумму от a₁ до aₙ. Их смешивают, потому что обозначения похожи и в обоих есть n. Для проверки запиши несколько членов: a₃ — третье число, а S₃ = a₁ + a₂ + a₃.
При отрицательной разности иногда теряют минус и считают, что прогрессия возрастает. Это часто случается при подстановке в выражения вроде d(n − 1), где есть несколько действий. Сначала запиши d со знаком, затем отдельно вычисли aₙ и только после этого сумму. Проверка направления изменения тоже помогает: при d < 0 каждый следующий член должен быть меньше предыдущего.
Для вычисления суммы полезно уметь находить n-й член по формуле aₙ = a₁ + d(n − 1). При подстановке данных понадобятся навыки сложения и умножения, а при выводе второй формулы — раскрытие скобок и упрощение буквенных выражений. Та же идея суммирования применяется в текстовых задачах о накоплении величин, например при подсчёте мест в рядах. Формулы для арифметической прогрессии также подготавливают к изучению сумм других последовательностей.
Почему в формуле суммы стоит деление на 2?
При сложении первого члена с последним, второго с предпоследним и так далее каждая пара даёт сумму a₁ + aₙ. Число таких пар равно половине числа членов, поэтому Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Если n нечётно, средний член учитывается как половина пары.
Как выбрать между двумя формулами суммы?
Если известны первый и последний члены, удобнее использовать Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Если известны первый член и разность, применяй Sₙ = na₁ + d·n(n − 1)/2. В обоих случаях сначала проверь, что известные значения относятся к нужной прогрессии.
Почему при нахождении n-го члена используется n − 1?
Первый член уже задан, поэтому от него до n-го нужно сделать не n, а n − 1 переходов. Каждый переход прибавляет разность d. Например, до пятого члена от первого проходят четыре шага.
Можно ли применять формулу, если разность прогрессии отрицательная?
Да, формулы суммы действуют и при отрицательной разности. Подставляй d со знаком минус и внимательно вычисляй последний член. Отрицательная разность означает, что каждый следующий член меньше предыдущего.
Как отличить n-й член прогрессии от суммы первых n членов?
aₙ — это одно число, член прогрессии на n-м месте. Sₙ — сумма всех чисел от a₁ до aₙ включительно. Например, S₃ = a₁ + a₂ + a₃, а a₃ — только третий член.
4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии
