7.2. Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Определения и обозначения

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одну и ту же разность d. Например, в последовательности 3, 7, 11 разность равна 4. Это правило позволяет находить любой член и анализировать всю последовательность.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии — это a₁ + a₂ + … + aₙ, обозначаемая Sₙ. Буква n показывает, сколько первых членов складывают. Такая запись нужна, чтобы не выписывать длинную сумму полностью.

Число слагаемых n — количество членов прогрессии, включённых в сумму Sₙ. Если складывают от a₁ до a₁₀, то n = 10, даже если разность прогрессии равна другому числу. Это помогает не путать количество членов с величиной шага d.

Среднее арифметическое первого и последнего членов равно (a₁ + aₙ) / 2. Для арифметической прогрессии оно совпадает со средним значением всех её членов. Поэтому сумму можно получить, умножив это среднее на число слагаемых.

Как это устроено

Запишем сумму в обычном порядке: Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ. Теперь развернём порядок слагаемых: Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + … + a₁. Сложим эти две записи почленно: первый и последний члены дадут a₁ + aₙ, второй и предпоследний — a₂ + aₙ₋₁. В арифметической прогрессии эти суммы одинаковы, потому что от одного края к середине прибавляется ровно столько же, сколько от другого края отнимается.

После сложения две одинаковые суммы дают 2Sₙ, а справа появляется n одинаковых слагаемых, каждое из которых равно a₁ + aₙ. Значит, 2Sₙ = n(a₁ + aₙ). Делением на 2 получаем Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2. Иначе говоря, сумма равна числу членов, умноженному на среднее арифметическое первого и последнего членов.

Иногда последний член неизвестен, но известны a₁, d и n. Используем формулу n-го члена: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Подставим её в первую формулу: Sₙ = n(a₁ + a₁ + (n − 1)d) / 2. После приведения подобных слагаемых получаем Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2.

Формула не зависит от того, чётно или нечётно n. При чётном числе членов все они объединяются в пары с одинаковой суммой. При нечётном числе членов одна пара остаётся с центральным членом, но центральный член равен (a₁ + aₙ) / 2, поэтому он учитывается так же. Формулу выбирают по условию: при известных a₁ и aₙ удобнее первая запись, а при известных a₁ и d — вторая.

Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Сначала определите, какие величины уже даны в условии. Если известен последний член, не нужно отдельно вычислять его через разность. Если известны только первый член и d, сначала можно найти aₙ или сразу воспользоваться второй формулой.

Когда неизвестно число членов, формула суммы превращается в уравнение относительно n. Полученное значение обязательно проверяют: n должно быть натуральным числом, потому что речь идёт о количестве членов.

Разбор задач

Задача 1

Найти сумму первых 10 членов прогрессии 3, 7, 11, …. Здесь первый член равен 3, а разность равна 4. Последний член в условии не указан, поэтому его нужно найти.

1. Определим a₁ = 3, d = 4, n = 10.
2. Найдём последний член: a₁₀ = 3 + (10 − 1) · 4 = 39.
3. Применим формулу: S₁₀ = 10(3 + 39) / 2 = 210.

Ответ: S₁₀ = 210.

Задача 2

Найти сумму первых 20 членов, если a₁ = 5 и d = 3. Последний член неизвестен, поэтому сначала найдём его по формуле n-го члена. Затем подставим результат в формулу суммы.

1. Вычислим a₂₀ = 5 + (20 − 1) · 3 = 62.
2. Сложим крайние члены и умножим на половину числа членов: S₂₀ = 20(5 + 62) / 2 = 670.

Ответ: S₂₀ = 670.

Задача 3

Дано a₁ = 4, d = 2, Sₙ = 70. Требуется найти число членов, поэтому используем формулу, содержащую n и разность. После подстановки получим квадратное уравнение.

1. 70 = n(2 · 4 + (n − 1) · 2) / 2 = n(n + 3).
2. Получаем n² + 3n − 70 = 0. Корни: n = 7 и n = −10.
3. Количество членов не может быть отрицательным, поэтому выбираем n = 7.

Ответ: n = 7.

Типичные ошибки

Забывают деление на 2 и пишут Sₙ = n(a₁ + aₙ). Так происходит, когда среднее арифметическое путают с обычной суммой крайних членов. Проверьте себя: после разворота суммы получается 2Sₙ, значит, в конце нужно разделить на 2.

Подставляют разность d вместо последнего члена в формулу n(a₁ + aₙ) / 2. Разность показывает шаг между соседними членами, а aₙ — конкретное значение последнего члена. Проверьте обозначения и при необходимости сначала вычислите aₙ.

Принимают n − 1 за число слагаемых. На самом деле это количество переходов от первого члена к n-му, тогда как самих членов n. Для проверки перечислите маленький пример: в a₁, a₂, a₃ три члена, но переходов только два.

Неправильно находят последний член и теряют множитель n − 1 или заменяют его на n. Формула имеет вид aₙ = a₁ + (n − 1)d, потому что первый член уже стоит в начале. Проверьте результат на n = 1: должен получиться именно a₁.

Связь с другими темами

До изучения суммы нужно уметь находить n-й член арифметической прогрессии, понимать смысл a₁ и d и преобразовывать выражения. Эти навыки нужны при выводе второй формулы и решении уравнений.

Формула суммы встречается в задачах о последовательных платежах, накоплениях, распределении величин и повторяющихся шагах. Арифметическая прогрессия описывает ситуации, где каждое новое значение увеличивается или уменьшается на одну и ту же величину.

Эта тема подготавливает к изучению суммы членов геометрической прогрессии. Сравнение двух прогрессий помогает увидеть, как меняются способы суммирования последовательностей.

Что запомнить

• Sₙ — сумма первых n членов арифметической прогрессии.
• Симметричные относительно середины члены прогрессии имеют одинаковую сумму.
• Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2.
• Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2.
• Последний член находят по формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d.
• Формулу выбирают по тем величинам, которые известны в условии.