"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число. Это число называют разностью прогрессии и обозначают d. Зная первый член и разность, можно найти любой член последовательности по формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d. Прогрессии помогают описывать равномерное увеличение или уменьшение величин и решать задачи о таких изменениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Последовательность — это упорядоченный набор чисел, члены которого обозначают a₁, a₂, a₃, … и снабжают номерами. Например, в последовательности 2, 5, 8, … число 2 — первый член, а 5 — второй. Номер показывает место числа и помогает говорить о любом члене, не перечисляя всю последовательность.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна. Например, в последовательности 4, 9, 14, 19 каждый следующий член больше предыдущего на 5. Это определение позволяет отличить арифметическую прогрессию от последовательности, где числа меняются по-разному.
Разность арифметической прогрессии обозначают буквой d и вычисляют по формуле d = aₙ₊₁ − aₙ. Здесь aₙ — член с номером n, а aₙ₊₁ — следующий за ним член. Разность нужна, чтобы описать постоянный шаг изменения и быстро переходить от одного члена к соседнему.
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид aₙ = a₁ + (n − 1)d. Она позволяет найти член с номером n, если известны первый член a₁ и разность d. Это удобно, когда нужно узнать далёкий член, не выписывая все числа между ним и началом последовательности.
Чтобы понять, является ли последовательность арифметической прогрессией, сравнивают разности соседних членов: a₂ − a₁, a₃ − a₂ и так далее. Если эти разности равны, каждый переход между соседними числами происходит с одним и тем же шагом. Одной разности недостаточно: она показывает только изменение в одной паре, но ничего не гарантирует о следующих членах.
Постоянство разности d означает, что для любой пары соседних членов выполняется равенство aₙ₊₁ − aₙ = d. Если перенести aₙ в правую часть, получится рекуррентная формула aₙ₊₁ = aₙ + d. Слово «рекуррентная» означает, что новый член выражается через предыдущий; поэтому, зная один член и d, можно последовательно получить следующие.
Знак d показывает, в какую сторону меняются члены. При d > 0 к каждому числу прибавляют положительное число, значит, следующий член больше предыдущего и прогрессия возрастает. При d < 0 прибавляется отрицательное число, поэтому члены убывают; при d = 0 ничего не меняется, и последовательность остаётся постоянной.
Формула n-го члена получается из последовательного прибавления d. От a₁ до a₂ разность прибавляется один раз, от a₁ до a₃ — два раза, а до aₙ — n − 1 раз. Значит, aₙ равно первому члену плюс (n − 1) одинаковых прибавлений: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Например, чтобы найти a₅, нужно прибавить к a₁ четыре разности.
Если в задаче нужно найти неизвестный член, используй формулу, соответствующую его номеру, или переходи между соседними членами с помощью aₙ₊₁ = aₙ + d. Когда известны два члена с разными номерами, запиши для каждого равенство aₙ = a₁ + (n − 1)d. Реши получившиеся уравнения относительно a₁ и d, а затем подставь найденные значения для вычисления нужного члена.
| Свойство | Формула или обозначение | Смысл |
|---|---|---|
| Обозначение членов | a₁, a₂, …, aₙ | Члены последовательности с указанными номерами |
| Разность прогрессии | d = aₙ₊₁ − aₙ | Одинаковая разность любых соседних членов |
| Рекуррентная формула | aₙ₊₁ = aₙ + d | Переход от одного члена к следующему |
| Формула n-го члена | aₙ = a₁ + (n − 1)d | Нахождение члена по a₁, d и его номеру |
| Условие возрастания | d > 0 | Каждый следующий член больше предыдущего |
| Условие убывания | d < 0 | Каждый следующий член меньше предыдущего |
| Постоянная прогрессия | d = 0 | Все члены равны |
Сначала по таблице можно определить, какие данные известны: номер члена, первый член или разность. Для перехода к соседнему члену используй рекуррентную формулу, а для прямого вычисления члена с заданным номером — формулу n-го члена. Знак d сразу подскажет, возрастает последовательность или убывает.
Определите, является ли последовательность 4, 9, 14, 19, … арифметической, и найдите её разность. Нужно проверить, одинаков ли шаг между соседними членами. Сравним разности, двигаясь слева направо.
Вычислим разность второго и первого членов: 9 − 4 = 5. Это значение пока описывает только один переход, поэтому проверим остальные пары.
Вычислим разности: 14 − 9 = 5 и 19 − 14 = 5. Все полученные значения совпадают, значит, последовательность является арифметической прогрессией.
Общая разность равна каждому из вычисленных значений: d = 5. Поскольку она положительна, последовательность возрастает.
Ответ: да, это арифметическая прогрессия; d = 5.
В арифметической прогрессии a₁ = 7, d = −3. Найдите a₁₂. Двенадцатый член находится на одиннадцать переходов от первого, поэтому разность нужно учесть одиннадцать раз. Отрицательный знак сохраняем при подстановке.
Запишем формулу n-го члена: aₙ = a₁ + (n − 1)d. В ней номер нужного члена n = 12.
Подставим данные: a₁₂ = 7 + (12 − 1) · (−3) = 7 + 11 · (−3). Скобки помогают не потерять знак разности.
Выполним умножение и сложение: a₁₂ = 7 − 33 = −26. Отрицательный результат согласуется с тем, что при каждом переходе число уменьшается на 3.
Ответ: a₁₂ = −26.
Известно, что a₃ = 8 и a₉ = 26. Найдите первый член, разность и a₂₀. Даны два члена, отстоящие друг от друга на шесть шагов, поэтому сначала удобно определить изменение за один шаг. Затем найдём a₁ и используем общую формулу для двадцатого члена.
Запишем два равенства по формуле n-го члена: a₃ = a₁ + 2d = 8 и a₉ = a₁ + 8d = 26. Коэффициенты 2 и 8 получаются как n − 1.
Вычтем первое равенство из второго: 6d = 18, откуда d = 3. Разность положительна, значит, члены прогрессии возрастают.
Подставим d = 3 в равенство a₁ + 2d = 8: a₁ + 6 = 8, поэтому a₁ = 2. Теперь вычислим a₂₀ = 2 + 19 · 3 = 59.
Ответ: a₁ = 2, d = 3, a₂₀ = 59.
Ошибка: проверить только одну разность соседних членов и уже объявить последовательность арифметической. Так делают, потому что один переход может создать впечатление постоянного шага. Сравни несколько соседних разностей и убедись, что правило выполняется для последовательности в целом.
Ошибка: записать формулу как aₙ = a₁ + nd. Обычно при этом забывают, что до первого члена не нужно выполнять ни одного перехода. Проверь формулу на n = 1: она должна дать a₁, поэтому при множителе n − 1 добавление разности равно нулю.
Ошибка: потерять минус у отрицательной разности, например заменить прибавление −3 на прибавление 3. Это случается, когда знак считают отдельной деталью вычисления, а не частью числа. Подставляй d в скобках и проверь, соответствует ли результат убывающему характеру прогрессии.
Ошибка: искать постоянное отношение соседних членов вместо разности. Отношение подходит для распознавания геометрической прогрессии, а в арифметической постоянна разность. Чтобы проверить себя, вычисли именно следующий член минус предыдущий: aₙ₊₁ − aₙ.
Для работы с прогрессиями нужно уметь читать последовательности, понимать номера их членов и выполнять действия с целыми и рациональными числами. Формула n-го члена помогает перейти от задания последовательности к вычислениям без перечисления всех чисел. Далее это знание понадобится при изучении суммы первых членов арифметической прогрессии.
Прогрессия описывает ситуации, где величина за равные шаги увеличивается или уменьшается на одно и то же число. Например, так можно моделировать регулярное пополнение запаса или снижение показателя на постоянную величину. В таких задачах разность показывает размер изменения за один шаг.
Для графического представления отметим точки с координатами (n; aₙ). При увеличении номера на единицу значение aₙ в этой последовательности возрастает на постоянную величину.
Как быстро проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией?
Вычти каждый член из следующего: a₂ − a₁, a₃ − a₂ и так далее. Если все полученные разности одинаковы, последовательность арифметическая. Для бесконечной последовательности проверяют общий способ её задания или все соседние разности.
Почему в формуле n-го члена используется выражение n − 1?
От первого члена до второго нужно прибавить разность один раз, а от первого до третьего — два раза. Поэтому, чтобы дойти от a₁ до aₙ, разность прибавляют n − 1 раз. При n = 1 формула также даёт a₁.
Может ли разность арифметической прогрессии быть отрицательной или равной нулю?
Да. При отрицательной разности каждый следующий член меньше предыдущего, а при нулевой все члены равны. Разность может быть и положительной — тогда прогрессия возрастает.
Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?
В арифметической прогрессии постоянна разность соседних членов: из предыдущего получают следующий прибавлением одного и того же числа. В геометрической прогрессии постоянен результат деления следующего члена на предыдущий: соседние члены связаны умножением на одно и то же число.
Как найти первый член и разность, если известны два других члена?
Запиши для каждого известного члена формулу aₙ = a₁ + (n − 1)d. Получится система двух уравнений с неизвестными a₁ и d; вычти одно уравнение из другого, чтобы найти разность. Затем подставь её в любое уравнение и вычисли первый член.
7.1. Понятие арифметической прогрессии
