"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получают прибавлением одного и того же числа. Это правило помогает описывать равномерное увеличение или уменьшение величин, например числа мест в рядах зала. Зная первый член и разность, можно найти любой член прогрессии, а также сумму её первых членов. Главное — не путать количество переходов между членами с номером члена и аккуратно учитывать знак разности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, отличается от предыдущего на одно и то же число. Её обозначают a₁, a₂, a₃, …, а общий член записывают как aₙ. Это определение позволяет проверить, подходит ли последовательность под правило постоянного шага.
Число, на которое меняется член при переходе к следующему, называют разностью арифметической прогрессии и обозначают d. Формула разности: d = aₙ₊₁ − aₙ. Такой порядок вычитания показывает именно изменение от предыдущего члена к следующему, включая знак этого изменения.
Первый член прогрессии обозначают a₁, а n-й член — aₙ. Индекс n указывает место числа в последовательности, а не его значение. Эти обозначения помогают точно сказать, какие данные известны и какой член нужно найти.
Формула n-го члена — aₙ = a₁ + (n − 1)d. Она выражает любой член через первый член, разность и номер. С её помощью не нужно выписывать всю последовательность по порядку, чтобы добраться до нужного значения.
Постоянство разности означает, что от любого члена к следующему совершается одинаковый шаг: прибавляется d. Поэтому, зная a₁ и d, можно восстановить всю последовательность: после первого члена каждый раз применяют одно и то же действие. Именно так прогрессию можно задать двумя числами, а не перечислением всех её членов.
Начав с a₁, после одного перехода получаем a₁ + d, после двух — a₁ + 2d, после трёх — a₁ + 3d. Значит, до члена с номером n нужно прибавить разность n − 1 раз. Отсюда получается формула aₙ = a₁ + (n − 1)d; множитель n − 1 считает переходы, а не сами члены.
Знак d показывает, в какую сторону меняются значения. При d > 0 к каждому члену прибавляется положительное число, поэтому следующий член больше предыдущего; при d < 0 прибавляется отрицательное число, и члены уменьшаются. Если d = 0, прибавление ничего не меняет, так что все члены одинаковы.
У среднего члена есть связь с соседями: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2. Причина в том, что соседние шаги равны по величине: от предыдущего числа до среднего прибавляется d, а от среднего до следующего — ещё d. Поэтому средний член делит отрезок между соседями пополам, а его значение равно их полусумме.
Для суммы первых n членов можно сложить первый с последним, второй — с предпоследним и так далее. В каждой такой паре сумма одна и та же, потому что один член от пары к паре увеличивается на d, а другой уменьшается на d. Таких пар в пересчёте получается n половин, поэтому Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2; подстановка формулы aₙ даёт также Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2.
| Что рассматриваем | Формула или условие | Для чего использовать |
|---|---|---|
| Определение прогрессии | aₙ₊₁ − aₙ = d, где d постоянно | Проверить, является ли последовательность арифметической |
| Разность прогрессии | d = aₙ₊₁ − aₙ | Найти постоянное изменение соседних членов |
| Формула n-го члена | aₙ = a₁ + (n − 1)d | Вычислить член по его номеру |
| Признак возрастания, убывания или постоянства | d > 0 — возрастает; d < 0 — убывает; d = 0 — постоянна | Определить направление изменения |
| Средний член | aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 | Найти один из трёх соседних членов |
| Сумма первых n членов через первый и последний члены | Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 | Найти сумму, если известны крайние члены |
| Сумма первых n членов через первый член и разность | Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2 | Найти сумму без предварительного вычисления последнего члена |
Сначала выпиши известные величины: a₁, d, n и, если он известен, aₙ. Для одного члена используй формулу n-го члена, а для суммы — одну из двух формул Sₙ. Выбирай ту формулу, для которой уже есть нужные данные, и не смешивай aₙ с Sₙ.
Задача 1. Дана последовательность 4, 9, 14, 19, … . Нужно определить, является ли она арифметической, и найти её разность. Для этого сравним изменения между соседними числами, а не сами значения членов. Если полученные разности совпадут, правило выполняется.
Ответ: последовательность арифметическая, её разность d = 5.
Задача 2. В арифметической прогрессии a₁ = 7 и d = −3. Найдём a₁₂. По формуле общего члена нужно прибавить разность столько раз, сколько переходов отделяет двенадцатый член от первого. Это число равно 11, поэтому отрицательная разность уменьшит первый член на 33.
Ответ: a₁₂ = −26.
Задача 3. В первом ряду театрального зала 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше. Найдём число мест в 15-м ряду и общее число мест в первых 15 рядах. Количество мест по рядам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 18, d = 2, n = 15. Сначала нужен последний член, затем сумма ряда чисел от первого до пятнадцатого.
Ответ: в 15-м ряду 46 мест, в первых 15 рядах — 480 мест.
Иногда разность находят в обратном порядке: aₙ − aₙ₊₁ вместо aₙ₊₁ − aₙ. Тогда меняется знак d, и можно ошибочно решить, что прогрессия растёт, хотя она убывает. Запиши формулу разности и проверь её на паре соседних членов: следующий минус предыдущий.
В формуле n-го члена иногда используют nd вместо (n − 1)d. Ошибка возникает, если принять номер члена за количество переходов от первого; но от a₁ до aₙ переходов на один меньше, чем номер n. Проверь результат на n = 1: формула должна вернуть a₁, а выражение с nd этого не делает.
Обозначения aₙ и Sₙ легко перепутать: первое — значение одного члена, второе — сумма первых n членов. Путаница часто появляется потому, что в обоих обозначениях есть один и тот же индекс. Перед вычислением уточни, что просит задача: член с заданным номером или общий итог нескольких членов.
В формуле суммы вместо числа членов n иногда ставят n − 1, считая промежутки между числами. Промежутков действительно на один меньше, но складываем мы сами члены, которых n. Чтобы проверить подстановку, при n = 1 сумма должна равняться a₁, а не нулю.
Для изучения прогрессии нужно уметь работать с последовательностями, находить разность чисел и подставлять значения в буквенные формулы. Эти навыки помогают определить данные задачи и выбрать нужное вычисление. Арифметическая прогрессия описывает ситуации равномерного увеличения или уменьшения величин, например числа мест в рядах.
Формулы суммы позволяют быстро складывать члены последовательности, не выписывая их все по одному. При дальнейшем изучении последовательностей этот способ станет основой для новых задач о закономерностях и суммах. Поэтому важно различать формулу отдельного члена и формулу суммы.
Как быстро проверить, является ли последовательность арифметической?
Вычти каждый член из следующего: a₂ − a₁, a₃ − a₂ и так далее. Если разности одинаковы, последовательность арифметическая. Для проверки лучше сравнить несколько соседних пар.
Почему в формуле n-го члена стоит n − 1?
От первого члена до второго нужно сделать один переход, от первого до третьего — два. Поэтому до члена с номером n совершают n − 1 переходов, каждый раз прибавляя d.
Может ли арифметическая прогрессия быть убывающей?
Да. Если разность d меньше нуля, каждый следующий член меньше предыдущего, поэтому прогрессия убывает. При d = 0 все её члены равны.
Как найти член прогрессии, если известны два её члена?
Если известны первый член a₁ и разность, подставь их в формулу aₙ = a₁ + (n − 1)d. Если даны члены с другими номерами, найди разность: d = (aₘ − aₖ) / (m − k), затем вычисли первый член или сразу нужный член.
Как выбрать формулу для суммы первых n членов?
Если известны первый и последний члены, используй Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2. Если известны первый член и разность, подставь их в Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2. Обе формулы дают одну и ту же сумму.
§ 7. Арифметическая прогрессия
