6.2. Свойства числовых последовательностей

Определения и обозначения

Последовательность называется монотонной, если её члены не убывают или не возрастают. Возрастающая последовательность удовлетворяет условию aₙ₊₁ > aₙ, а убывающая — aₙ₊₁ < aₙ. Для неубывающей выполняется aₙ₊₁ ≥ aₙ, для невозрастающей — aₙ₊₁ ≤ aₙ; здесь соседние члены могут быть равны. Эти определения нужны, чтобы описывать, в каком направлении изменяются члены при росте номера.

Последовательность ограничена, если все её члены заключены между постоянными числами: m ≤ aₙ ≤ M. Число m называют нижней границей, а M — верхней границей последовательности. Границы помогают понять, в каком промежутке расположены все значения, даже если последовательность меняется нерегулярно.

Бесконечно малой называют последовательность, члены которой по модулю становятся сколь угодно близкими к нулю. Это записывают так: aₙ → 0. Такое понятие удобно, когда нужно описать небольшую добавку или разницу, которая исчезает при увеличении номера.

Предел последовательности — число A, к которому приближаются её члены при неограниченном росте номера n. Запись lim aₙ = A означает, что начиная с некоторого номера все члены можно сделать сколь угодно близкими к A. Последовательность, имеющую такой предел, называют сходящейся; это понятие нужно для описания её поведения «вдаль».

Как это устроено

Чтобы установить монотонность, сравнивают соседние члены: вычисляют aₙ₊₁ − aₙ или непосредственно проверяют неравенство между ними. Если разность положительна при каждом допустимом n, последовательность возрастает; если отрицательна — убывает. Такой способ надёжнее просмотра первых значений: он показывает правило изменения для любого номера, а не только для нескольких начальных членов.

Ограниченность проверяют поиском постоянных чисел, которые подходят сразу для всех членов. Сначала полезно преобразовать выражение aₙ, чтобы увидеть, от каких величин оно зависит, затем доказать неравенства m ≤ aₙ и aₙ ≤ M. Например, дробь может всё время оставаться в одном промежутке, хотя её члены то увеличиваются, то уменьшаются. Поэтому при проверке границ не следует предполагать, что ограниченная последовательность обязательно монотонна.

Предел описывает не то, равен ли какой-то член последовательности числу A, а то, насколько близко к A располагаются члены с большими номерами. Для любой заранее выбранной точности можно найти номер, после которого все члены отклоняются от A меньше этой величины. Именно условие «все члены начиная с некоторого номера» отличает приближение к пределу от случайного совпадения отдельных значений.

Предел удобно связывать с бесконечно малой последовательностью. Если aₙ = A + αₙ, где αₙ → 0, то отклонение aₙ от A равно αₙ и постепенно исчезает, поэтому aₙ → A. Например, n/(n + 1) можно представить как 1 − 1/(n + 1): добавка −1/(n + 1) стремится к нулю, значит, предел равен 1. Такой приём часто позволяет найти предел, не сравнивая каждый член с предполагаемым ответом отдельно.

Если пределы двух последовательностей существуют, то предел их суммы равен сумме пределов, а предел произведения — произведению пределов. Для частного действует похожее правило, но предел знаменателя должен быть отличен от нуля: только тогда можно делить предел числителя на предел знаменателя. Ограниченность этого не заменяет: например, (−1)ⁿ остаётся между −1 и 1, но колеблется и не приближается к одному числу.

На графике точки соответствуют отдельным членам последовательности: по горизонтали отложен номер n, по вертикали — значение aₙ. Видно, что точки поднимаются, но остаются ниже уровня 1 и постепенно подходят к нему. Поскольку последовательность состоит из отдельных членов, точки не следует воспринимать как непрерывную линию.

Основные свойства числовых последовательностей

Сначала найдите в таблице нужное свойство, затем сопоставьте условие с выражением для членов последовательности. Для границ неравенство должно выполняться при всех n, а для предела частного дополнительно проверьте знаменатель.

Разбор задач

1. Исследовать на монотонность последовательность aₙ = 3n − 5

Чтобы доказать монотонность, проверим связь между любыми двумя соседними членами. Подставим вместо n число n + 1 и найдём разность: её знак покажет, увеличивается или уменьшается последовательность. Номер n принимает натуральные значения, поэтому рассматриваем n ≥ 1.

1. Найдём следующий член: aₙ₊₁ = 3(n + 1) − 5 = 3n − 2.
2. Вычислим разность: aₙ₊₁ − aₙ = (3n − 2) − (3n − 5) = 3.
3. Так как 3 > 0 при любом n, каждый следующий член больше предыдущего.

Ответ: последовательность возрастает.

2. Доказать, что aₙ = n/(n + 1) возрастает и ограничена

Для монотонности сравним соседние дроби. Их знаменатели положительны при натуральном n, поэтому можно привести разность к общей дроби и определить её знак. Для ограниченности отдельно покажем, что каждый член находится между 0 и 1.

1. Запишем следующий член: aₙ₊₁ = (n + 1)/(n + 2).
2. Вычтем aₙ: aₙ₊₁ − aₙ = ((n + 1)² − n(n + 2))/((n + 1)(n + 2)) = 1/((n + 1)(n + 2)) > 0.
3. Значит, последовательность возрастает. Так как n > 0 и n + 1 > n, получаем 0 < n/(n + 1) < 1.

Ответ: последовательность возрастает и ограничена снизу числом 0 и сверху числом 1.

3. Найти предел aₙ = (3n − 1)/(n + 2)

В числителе и знаменателе дроби есть n, поэтому разделить их можно на n или выделить постоянную часть. Удобно представить выражение так, чтобы отдельно увидеть слагаемое, стремящееся к нулю. Тогда предел останется найти у постоянной части.

1. Проверим преобразование: 3 − 7/(n + 2) = (3n + 6 − 7)/(n + 2) = (3n − 1)/(n + 2).
2. При росте n знаменатель n + 2 неограниченно увеличивается, поэтому 7/(n + 2) → 0.
3. Следовательно, выражение 3 − 7/(n + 2) стремится к 3 − 0 = 3.

Ответ: lim aₙ = 3.

Типичные ошибки

Первая ошибка — посмотреть на несколько первых членов и объявить последовательность возрастающей или убывающей. Начальные значения могут создавать впечатление закономерности, но дальше правило способно измениться. Проверяйте разность aₙ₊₁ − aₙ для произвольного n и доказывайте нужный знак при всех допустимых номерах.

Вторая ошибка — считать ограниченность и монотонность одним и тем же свойством. Их путают, потому что оба описывают поведение членов, однако границы говорят лишь о промежутке значений, а монотонность — о сравнении соседних членов. Для самопроверки отдельно запишите доказательство границ и отдельно — сравнение соседних членов.

Третья ошибка — полагать, что наличие верхней и нижней границ гарантирует предел. Например, члены последовательности (−1)ⁿ равны −1 и 1 попеременно: они ограничены, но не приближаются к одному числу. Проверяйте именно сближение членов с предполагаемым пределом, а не только то, что они остаются в промежутке.

Четвёртая ошибка — применять правило предела частного, не проверив предел знаменателя. Если он равен нулю, делить на него нельзя, поэтому правило не даёт ответа. Перед вычислением частного найдите предел знаменателя и убедитесь, что он ненулевой.

Связь с другими темами

Для изучения свойств последовательностей нужно уметь находить её член по номеру, сравнивать числа и преобразовывать алгебраические выражения. Эти навыки помогают анализировать арифметическую и геометрическую прогрессии: например, устанавливать направление изменения их членов и оценивать их значения. Предел подготавливает к изучению функций и непрерывности, а также к математическому анализу. Идея приближения к определённому числу понадобится и при рассмотрении суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Что запомнить

• Монотонность определяется сравнением соседних членов.
• Ограниченность означает наличие общей верхней и нижней границы.
• Ограниченная последовательность не обязательно имеет предел.
• Бесконечно малая последовательность имеет предел, равный нулю.
• Сходящаяся последовательность приближается к одному определённому числу.
• При вычислении пределов применяют правила для суммы, произведения и частного.