§ 22. Свойства числовых последовательностей

Определения и обозначения

Последовательность строго возрастает, если каждый её следующий член больше предыдущего: aₙ₊₁ > aₙ для всех допустимых n. Если допускается равенство, то есть aₙ₊₁ ≥ aₙ, последовательность называется неубывающей. Это различие помогает не считать строгим ростом случай, когда некоторые соседние члены равны.

Последовательность строго убывает, если для каждого допустимого n выполняется aₙ₊₁ < aₙ. Когда соседний член может быть равен предыдущему, но не может быть больше него, говорят о невозрастании: aₙ₊₁ ≤ aₙ. Эти определения позволяют точно описать, как меняются члены при увеличении номера.

Последовательность ограничена сверху, если существует число M, не меньшее любого её члена: aₙ ≤ M для всех n. Она ограничена снизу, если есть число m, не большее любого члена: aₙ ≥ m для всех n. Если найдены обе оценки, последовательность ограничена, то есть все её члены заключены между m и M.

Наибольший член — это член последовательности, который не меньше любого другого её члена; наименьший — тот, который не больше остальных. Верхняя или нижняя граница может не быть членом последовательности, поэтому границу нельзя автоматически называть наибольшим или наименьшим членом. Это различие нужно, чтобы точно формулировать выводы о последовательности.

Как это устроено

Чтобы проверить монотонность заданной формулой последовательности, сравнивают соседние члены. Для этого находят aₙ₊₁ − aₙ: если разность положительна, следующий член больше, а если отрицательна — меньше. Такой способ удобен тем, что сводит сравнение двух выражений к исследованию знака одного выражения. Если знак разности зависит от n, его нужно определить при всех значениях n из области определения.

В определении монотонности неравенство требуется не для нескольких примеров, а для каждого допустимого номера. Первые члены помогают заметить закономерность и предположить ответ, но не исключают изменения поведения дальше. Поэтому после наблюдения нужно получить общее доказательство, например преобразовать разность так, чтобы её знак был очевиден. Если допустимые n начинаются с единицы, проверку проводят для всех целых n ≥ 1.

Ограниченность доказывают оценкой, которая подходит сразу для всех членов. Например, чтобы показать ограниченность сверху, находят постоянное число M и обосновывают aₙ ≤ M при любом допустимом n. Проверка нескольких членов не помогает установить такую общую границу: следующий член может оказаться больше. Для ограниченности снизу аналогично доказывают aₙ ≥ m, а для ограниченности в целом нужны обе оценки.

Монотонность описывает порядок соседних членов, а ограниченность — то, насколько далеко они могут уходить вверх или вниз. Поэтому эти свойства не следуют друг из друга: последовательность может возрастать без верхней границы или колебаться, оставаясь между двумя числами. Возможны также последовательности, которые не монотонны и не ограничены. При исследовании их проверяют раздельно, не подменяя одно свойство другим.

Для рекуррентной последовательности очередной член задаётся через предыдущие, поэтому полезно рассуждать по индукции. Сначала проверяют, что нужное неравенство или оценка верны для начального члена. Затем предполагают, что они верны для некоторого номера, и показывают, что правило перехода сохраняет их для следующего. Так доказывают свойство для всех членов, а не только для начальных значений.

Основные свойства числовой последовательности

Сначала определите, какое именно свойство требуется доказать, а затем выберите соответствующую проверку. Для монотонности сравнивают соседние члены, для ограниченности ищут общую оценку. Если речь идёт о наибольшем или наименьшем члене, дополнительно проверьте, является ли граница членом последовательности.

Разбор задач

Определить, возрастает или убывает последовательность aₙ = 2n − 1. Сравним соседние члены, потому что именно их порядок определяет монотонность. Подставим вместо n номер n + 1 и найдём разность нового члена и предыдущего.

1. Получаем aₙ₊₁ = 2(n + 1) − 1 = 2n + 1.
2. Вычитаем aₙ: aₙ₊₁ − aₙ = (2n + 1) − (2n − 1) = 2.
3. Так как 2 > 0 при любом натуральном n, каждый следующий член больше предыдущего.

Ответ: последовательность строго возрастает. Постоянная положительная разность сразу подтверждает условие для всех номеров, а не только для нескольких первых членов.

Исследовать на монотонность последовательность aₙ = 1/n при n ≥ 1. Здесь члены — дроби с положительным знаменателем, поэтому сравним соседние значения и учтём, что при увеличении знаменателя дробь может уменьшаться. Чтобы увидеть знак разности точно, приведём выражения к общему знаменателю.

1. Записываем соседний член: aₙ₊₁ = 1/(n + 1).
2. Вычисляем разность: aₙ₊₁ − aₙ = 1/(n + 1) − 1/n = −1/[n(n + 1)].
3. При n ≥ 1 знаменатель положителен, поэтому разность отрицательна для каждого допустимого n.

Ответ: последовательность строго убывает. Отрицательный знак получен с учётом области n ≥ 1, поэтому вывод верен для всех её членов.

Доказать, что последовательность aₙ = n/(n + 1) возрастает и ограничена сверху числом 1. Это два разных утверждения, поэтому проверим их отдельно: сначала сравним соседние члены, затем получим оценку для каждого n. Натуральные n положительны, значит знаменатели в вычислениях не обращаются в ноль.

1. Записываем соседний член и разность: aₙ₊₁ − aₙ = (n + 1)/(n + 2) − n/(n + 1).
2. Приводим к общему знаменателю: разность равна ((n + 1)² − n(n + 2))/((n + 1)(n + 2)) = 1/((n + 1)(n + 2)) > 0.
3. Преобразуем член: aₙ = 1 − 1/(n + 1). При n ≥ 1 дробь положительна, поэтому aₙ < 1.

Ответ: последовательность строго возрастает и ограничена сверху числом 1. Число 1 при этом не является её членом, поэтому оно служит верхней границей, но не наибольшим членом.

Типичные ошибки

• Считать последовательность возрастающей по первым нескольким членам — значит принимать наблюдение за доказательство. Такой вывод делают, потому что начало часто подсказывает закономерность, но дальше поведение может измениться. Проверьте себя: получено ли неравенство aₙ₊₁ > aₙ для всех допустимых n?

• Путать возрастание с неубыванием — значит забывать, что во втором случае соседние члены могут совпасть. Путаница возникает из-за сходных слов и похожих обозначений. Проверьте, требуется ли строгое неравенство > или достаточно ≥.

• Доказывать ограниченность проверкой отдельных членов — недостаточно, потому что оценка должна работать для всей последовательности. Несколько удобных значений n не дают гарантии для остальных. Проверьте доказательство: указано ли постоянное число M или m и показано ли неравенство для любого допустимого n?

• Называть границу наибольшим или наименьшим членом без проверки — ошибка: граница может не входить в последовательность. Её легко принять за член, если все значения к ней приближаются или остаются рядом. Чтобы проверить себя, выясните, существует ли номер n, для которого aₙ равен этой границе.

Связь с другими темами

Для исследования свойств нужно знать, как задают последовательности: формулой n-го члена или рекуррентным правилом. Пригодятся преобразования выражений и свойства неравенств, особенно при вычислении разности соседних членов и сравнении дробей. Эти же инструменты позволяют находить общие оценки, а в рекуррентных задачах — обосновывать их индукцией. Монотонность и ограниченность станут важными при изучении предела последовательности и поведения функций.

Что запомнить

• Возрастание проверяют сравнением соседних членов.
• Для строгого возрастания нужно aₙ₊₁ > aₙ для всех допустимых n.
• Для неубывания достаточно aₙ₊₁ ≥ aₙ.
• Ограниченность сверху и снизу доказывают общими оценками для всех членов.
• Монотонность не означает ограниченность, и наоборот.
• Граница последовательности не обязательно является её членом.