§ 21. Числовые последовательности

Определения и обозначения

Числовая последовательность — упорядоченный набор чисел, каждому члену которого соответствует свой номер. Порядок здесь важен: если поменять числа местами, получится другая последовательность. Такое понятие нужно, чтобы описывать закономерности, в которых значения расположены по шагам или местам.

Член последовательности — число, стоящее на определённом месте; общий член обозначают aₙ, где n — натуральное число. Например, a₁ означает первый член, а a₄ — четвёртый. Обозначение помогает говорить о конкретном месте, даже если последовательность длинная и все её значения не выписаны.

Формула n-го члена — правило, позволяющее найти член последовательности по его номеру. В записи aₙ = 2n значение aₙ зависит от выбранного n: например, при n = 3 получаем a₃ = 6. Такая формула нужна, когда требуется быстро вычислить любой член без перебора предыдущих.

Рекуррентное задание — способ задать последовательность, указав начальный член или несколько начальных членов и правило нахождения следующих. Например, можно сообщить, что первый член равен 2, а каждый следующий на 2 больше предыдущего. Это описание удобно, когда закономерность выражает переход от одного шага к следующему.

Как это устроено

Нумерация показывает не только значение, но и место числа в последовательности. Поэтому a₁ — первый член, a₂ — второй, а aₙ — член с номером n; одинаковые числа могут занимать разные места и иметь разные номера. Если смотреть только на значения, можно потерять информацию о порядке, который и отличает последовательность от простого набора чисел.

Формула общего члена связывает номер с соответствующим ему значением. Когда известна формула, нужный член находят подстановкой номера, а предыдущие вычислять не требуется. Это возможно потому, что правило сразу указывает значение для любого допустимого n, а не описывает только переход между соседними членами.

Задать последовательность можно перечислением первых членов, таблицей, словесным правилом, формулой n-го члена или рекуррентным правилом. Разные способы дают разную информацию: список показывает конкретные значения, формула связывает номер и член, а рекуррентное правило описывает переход. Поэтому способ выбирают по условию задачи и по тому, что удобнее использовать для вычислений.

При рекуррентном задании очередной член находят, используя уже известный предыдущий. Значит, правило перехода само по себе не говорит, с какого числа начинать: без начального значения можно построить разные последовательности. Начальный член вместе с правилом задаёт последовательность так, что её члены можно вычислять один за другим.

Чтобы проверить, входит ли число в последовательность, его приравнивают к выражению для aₙ и решают уравнение относительно n. Если требуется найти номер заданного члена, выполняют ту же проверку: полученное n должно быть натуральным числом. Решение, при котором n не натуральное, не соответствует месту в последовательности, даже если уравнение решено верно.

Способы задания числовой последовательности

В таблице собраны распространённые способы задания. Сначала определите, какая информация дана: готовый список значений, формула или правило перехода. Затем используйте подходящий способ поиска члена: найдите место в списке, подставьте номер или последовательно вычислите значения.

Разбор задач

Задача 1. Для последовательности aₙ = 3n − 1 найдите первые четыре члена.

1. Первому члену соответствует n = 1, поэтому подставляем это число: a₁ = 3 · 1 − 1 = 2. Получили значение первого места.
2. Для второго члена берём n = 2: a₂ = 3 · 2 − 1 = 5. Затем подставляем n = 3 и n = 4, потому что нужны ещё третий и четвёртый члены.
3. Вычисляем: a₃ = 3 · 3 − 1 = 8, a₄ = 3 · 4 − 1 = 11. Записываем значения в порядке номеров, не переставляя их.

Ответ: 2, 5, 8, 11.

Задача 2. Последовательность задана условиями a₁ = 5 и aₙ₊₁ = aₙ − 3. Найдите a₂, a₃ и a₄.

1. Начинаем с указанного первого члена: a₁ = 5. Правило говорит, что следующий член на 3 меньше предыдущего, поэтому a₂ = 5 − 3 = 2.
2. Теперь используем уже найденный a₂, чтобы вычислить a₃: a₃ = 2 − 3 = −1. Нельзя каждый раз возвращаться к a₁, потому что правило связывает соседние члены.
3. Для следующего перехода берём a₃: a₄ = −1 − 3 = −4. Значения найдены по порядку, начиная с заданного начального члена.

Ответ: a₂ = 2, a₃ = −1, a₄ = −4.

Задача 3. Последовательность задана формулой aₙ = n² − 4. Определите, является ли число 12 её членом, и если является, укажите номер.

1. Чтобы выяснить, может ли 12 быть членом, приравниваем формулу к этому значению: n² − 4 = 12. Так мы ищем номер, для которого формула даст нужный член.
2. Прибавляем 4 к обеим частям: n² = 16. Отсюда n = 4 или n = −4, но номер члена должен быть натуральным числом.
3. Подходит только n = 4. Проверка: a₄ = 4² − 4 = 12, значит число действительно стоит на четвёртом месте.

Ответ: да, число 12 является четвёртым членом.

Типичные ошибки

• Считать aₙ произведением a и n. Индекс n — это номер члена, а не множитель, но такая запись может зрительно напомнить умножение. Проверяйте смысл обозначения: aₙ читают «а с индексом эн» и связывают с определённым местом последовательности.
• Начинать нумерацию с нуля без указания такого правила. Ноль могут выбрать по аналогии с некоторыми другими задачами, однако в школьном определении номера членов — натуральные числа. Перед вычислениями посмотрите, с какого члена начинается последовательность, и не добавляйте нулевой номер самостоятельно.
• Подставлять в формулу значение предыдущего члена вместо номера n. Это смешивает формулу n-го члена с правилом перехода, потому что при прямой формуле входным значением служит номер. Для самопроверки выпишите нужный номер и подставьте именно его; предыдущий член используют только тогда, когда дано рекуррентное правило.
• Использовать рекуррентное правило без начального члена. Правило перехода не указывает, с какого значения начинается последовательность, поэтому вычисления не определят конкретные члены. Проверьте, есть ли начальное значение; если его нет, нельзя однозначно получить значения, начиная с первого.

Связь с другими темами

Для работы с последовательностями нужны натуральные числа, умение подставлять значения переменной в формулу и решать простые уравнения. Эти навыки помогают вычислить член по номеру и проверить, подходит ли найденный номер. Поэтому перед решением полезно убедиться, что вы различаете значение переменной и её номер.

Последовательности понадобятся при изучении арифметической и геометрической прогрессий — особых последовательностей с установленными правилами изменения членов. Они также помогают описывать закономерности и задачи, где величина меняется шаг за шагом. Умение задавать и анализировать последовательности пригодится, когда нужно понять порядок изменений и предсказать следующие значения.

Что запомнить

• Последовательность — упорядоченный набор чисел.
• Индекс n указывает номер члена.
• Формула n-го члена позволяет найти член по его номеру.
• В рекуррентном задании нужны начальные значения и правило перехода.
• Номер члена проверяют на принадлежность натуральным числам.
• Одну и ту же последовательность можно задавать разными способами.