"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г. и др. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г.
Функция y = ∛x каждому действительному числу x ставит в соответствие его кубический корень. Она определена на всей числовой прямой, принимает любые действительные значения, возрастает и является нечётной. Её график получают из графика y = x³ отражением относительно прямой y = x. Знание свойств этой функции помогает строить графики, решать уравнения и неравенства с кубическими корнями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметический кубический корень из числа x — это единственное число, куб которого равен x. Его обозначают так: ∛x, то есть (∛x)³ = x. В отличие от квадратного корня, кубический корень существует и при отрицательном подкоренном числе: ∛(−27) = −3.
Функция y = ∛x — это соответствие, при котором каждому действительному числу x ставится в соответствие его кубический корень. Здесь x называют аргументом, а y — значением функции. Такое обозначение позволяет исследовать, как меняется корень при изменении числа под знаком корня.
Нечётная функция — функция, для которой выполняется равенство f(−x) = −f(x) для каждого x из области определения. У функции y = ∛x это означает, что противоположным аргументам соответствуют противоположные значения. Геометрически график нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Функция y = ∛x определена при всех действительных x, потому что любое действительное число можно представить как куб некоторого действительного числа. Например, для x = −125 таким числом будет y = −5, а для x = 64 — y = 4. Кубирование действительных чисел даёт все действительные значения, причём каждому результату соответствует только одно число.
График y = ∛x является графиком обратной функции к y = x³. Если на графике кубической функции есть точка (a, a³), то после обмена координатами получается точка (a³, a), принадлежащая графику корня. Обмен координатами равносилен отражению относительно прямой y = x, поэтому графики симметричны относительно этой прямой.
Функция y = ∛x возрастает на всей числовой прямой, потому что большему числу соответствует больший кубический корень. Если x₁ < x₂, то ∛x₁ < ∛x₂; это свойство особенно полезно при решении неравенств. Для построения удобно использовать точки (−1, −1), (0, 0) и (1, 1).
Функция нечётная, так как противоположные числа имеют противоположные кубические корни: ∛(−x) = −∛x. Поэтому если точка (a, ∛a) принадлежит графику, то точка (−a, −∛a) тоже принадлежит ему. Эти две точки симметричны относительно начала координат.
График непрерывен: его можно начертить одной плавной линией без разрывов и скачков. При больших по модулю x значения функции также становятся большими по модулю, поэтому график не ограничен ни сверху, ни снизу. При этом рост постепенно становится менее крутым: например, увеличение x от 1 до 8 меняет корень от 1 до 2.
| Свойство | Характеристика |
|---|---|
| Область определения | Все действительные числа: x ∈ ℝ |
| Множество значений | Все действительные числа: y ∈ ℝ |
| Нули функции и пересечения с осями | Нуль функции: x = 0; график пересекает обе оси в точке (0, 0) |
| Чётность | Нечётная |
| Монотонность | Возрастает на всей числовой прямой |
| Ограниченность | Не ограничена ни сверху, ни снизу |
| Непрерывность | Непрерывна на всей числовой прямой |
| Поведение при x → +∞ и x → −∞ | При x → +∞ y → +∞; при x → −∞ y → −∞ |
Таблица помогает быстро получить полный набор характеристик функции. При решении задачи сначала найдите подходящую строку, а затем примените свойство к конкретному выражению или графику. Например, для сравнения кубических корней нужна строка о монотонности.
Построить график y = ∛x, используя значения x = −8, −1, 0, 1, 8, и указать область определения и множество значений.
Ответ: график проходит через указанные пять точек; D(y) = ℝ, E(y) = ℝ.
Решить уравнение ∛(2x − 1) = 3 и проверить полученный корень.
Ответ: x = 14.
Решить неравенство ∛(x + 2) > ∛(3x − 4).
Ответ: x ∈ (−∞; 3).
Ошибка 1. Считать, что кубический корень бывает только из неотрицательных чисел. Такое ограничение относится к квадратному корню, а проверить себя можно примером ∛(−8) = −2.
Ошибка 2. Путать область определения с множеством значений. Первая отвечает на вопрос, какие x разрешены, а вторая — какие y получаются; у функции y = ∛x обе области равны ℝ, но по разным причинам.
Ошибка 3. Изображать симметрию относительно оси y. Проверьте равенство f(−x) = −f(x): оно показывает нечётность и симметрию именно относительно начала координат.
Ошибка 4. Менять знак неравенства при сравнении кубических корней или забывать об их монотонности. Функция ∛x возрастает, поэтому знак сохраняется; полезно отдельно сравнить подкоренные выражения.
Для изучения функции нужны понятия функции, координат точки и построения графика по таблице значений, а также умение возводить число в куб. Функция y = ∛x связана с y = x³ как обратная: их графики симметричны относительно прямой y = x. Свойства кубического корня применяются при решении уравнений и неравенств, преобразовании выражений и изучении обратных функций.
Можно ли извлечь кубический корень из отрицательного числа?
Да, можно. Например, ∛(−8) = −2, потому что (−2)³ = −8. В отличие от квадратного корня, кубический корень определён для любого действительного числа.
Почему область определения функции y = ∛x — все действительные числа?
Для каждого действительного x существует единственное действительное число y, куб которого равен x. Поэтому в выражении ∛x нет запрещённых значений подкоренного числа.
Как построить график функции y = ∛x?
Составьте таблицу значений, выбирая удобные полные кубы: −8, −1, 0, 1, 8. Получатся точки (−8, −2), (−1, −1), (0, 0), (1, 1), (8, 2); нанесите их и соедините плавной кривой.
Почему функция y = ∛x является нечётной?
Потому что ∛(−x) = −∛x, то есть f(−x) = −f(x). Поэтому график функции симметричен относительно начала координат.
Как решать уравнения и неравенства с кубическими корнями?
В уравнении обычно возводят обе части в куб, используя взаимно обратные действия. В неравенствах применяют возрастание функции ∛x: можно сравнивать подкоренные выражения, не меняя знак неравенства.
§ 20. Функция у = x^(1/3)
