§ 19. Функции у = х^n (n € Z), их свойства и графики

Определения и обозначения

Степенная функция — функция вида y = xⁿ, где показатель n является целым числом: например, y = x² или y = x⁻³. Степени с разными показателями ведут себя по-разному, поэтому сначала полезно определить знак и чётность n. Это помогает быстро исследовать функцию и не строить график наугад.

Нулевая, положительная и отрицательная целая степень соответствуют случаям n = 0, n > 0 и n < 0. Если n = −m, где m — положительное целое число, то xⁿ = x⁻ᵐ = 1/xᵐ. Такое преобразование показывает, почему отрицательная степень связана с дробью и почему значение x = 0 может оказаться недопустимым.

Область определения — множество всех значений x, для которых выражение функции имеет смысл. У степеней с отрицательным показателем x не может быть равен нулю, ведь тогда знаменатель дроби 1/xᵐ стал бы нулём. Для положительных показателей нуль допустим, а при нулевом показателе рассматривают x ≠ 0, поскольку 0⁰ не определено.

Чётность функции определяют сравнением f(−x) и f(x). Если они равны, функция чётная; если f(−x) = −f(x), она нечётная. У функции y = xⁿ чётность зависит от чётности показателя, а не от его знака: это удобно использовать при определении симметрии графика.

Как это устроено

При n = 0 любое ненулевое x в нулевой степени даёт 1. При положительном n мы умножаем x на себя n раз, например x⁴ = x · x · x · x. Отрицательная степень означает обратное число: правило xᵐ · x⁻ᵐ = x⁰ = 1 приводит к x⁻ᵐ = 1/xᵐ, если x ≠ 0.

Нуль исключают при отрицательном показателе именно потому, что он становится знаменателем дроби. При положительном показателе выражение xⁿ остаётся определённым и при x = 0: результат равен нулю. Поэтому область определения положительной степенной функции — вся числовая прямая; для нулевого показателя нужно отдельно помнить, что 0⁰ не определено.

Чтобы проверить чётность, заменим x на −x: (−x)ⁿ равно xⁿ при чётном n, потому что минусы перемножаются попарно. При нечётном n один минус остаётся, и получается −xⁿ. Рассуждение работает и для отрицательных показателей: например, (−x)⁻³ = 1/(−x)³ = −1/x³, а (−x)⁻² = 1/x².

Чётность помогает понять симметрию и поведение функции на разных частях числовой прямой. При положительном чётном показателе значения убывают от левого края к нулю, а затем возрастают; они не бывают отрицательными. Положительная нечётная степень возрастает на всей прямой и принимает любые значения. Отрицательная чётная степень возрастает слева от нуля и убывает справа, оставаясь положительной; отрицательная нечётная убывает по обе стороны от нуля и принимает все ненулевые значения.

Для отрицательного показателя удобно рассматривать дробь 1/xᵐ: когда модуль x очень велик, дробь близка к нулю, а когда x приближается к нулю, её модуль растёт. Поэтому прямые x = 0 и y = 0 являются асимптотами — график приближается к ним, но не достигает. При x = 1 значение всегда равно 1; при x = −1 получается 1 для чётного показателя и −1 для нечётного. Симметрия зависит от чётности: чётные функции симметричны относительно Oy, нечётные — относительно начала координат.

На графике сравните положительные степени x² и x³ с отрицательными x⁻¹ и x⁻²: так видно, как показатель меняет форму и расположение ветвей.

Свойства функции y = xⁿ при различных целых показателях

В таблице R обозначает все действительные числа, а R без нуля — все числа, кроме 0. Промежуток монотонности показывает, где функция всё время возрастает или всё время убывает. Границы с квадратными скобками включены, а круглые скобки — нет.

Разбор задач

Исследуем функцию y = x⁻³

Нужно найти область определения и значения, чётность, монотонность и расположение графика. Сначала перепишем отрицательную степень как дробь: y = 1/x³. Это сразу показывает, что x не может быть нулём.

1. Область определения: x ≠ 0, то есть все действительные числа, кроме нуля.
2. Проверяем чётность: f(−x) = 1/(−x)³ = −1/x³ = −f(x). Функция нечётная, значит её график симметричен относительно начала координат.
3. Так как куб сохраняет знак x, дробь 1/x³ тоже положительна при x > 0 и отрицательна при x < 0. Функция убывает на (−∞; 0) и (0; +∞), а множество её значений — все числа, кроме нуля.

Ответ: область определения — R без нуля; множество значений — R без нуля. Функция нечётная и убывает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞); график расположен в I и III квадрантах.

Строим график y = x⁻²

Заменим отрицательную степень дробью: y = 1/x². Для построения возьмём пары противоположных x: чётность функции подсказывает, что значения по обе стороны от оси Oy совпадут. Вблизи нуля значения резко увеличиваются, а при больших по модулю x приближаются к нулю.

1. Составим таблицу значений: при x = −2 получаем y = ¼; при x = −1 — y = 1; при x = 1 — y = 1; при x = 2 — y = ¼.
2. Отметим точки (−2; ¼), (−1; 1), (1; 1), (2; ¼). Поскольку квадрат x² положителен для любого x ≠ 0, весь график находится выше оси Ox.
3. При x, близком к нулю, дробь становится большой, а при увеличении |x| — близкой к нулю. Проведём две плавные симметричные ветви, не соединяя их через x = 0.

Ответ: график состоит из двух ветвей выше оси Ox, симметричных относительно Oy. Асимптоты — прямые x = 0 и y = 0.

Решаем уравнение x⁴ = 16 и неравенство 1/x² > 1

В уравнении нужно учесть, что четвёртая степень чётная: противоположные числа могут иметь одинаковую степень. В неравенстве выражение 1/x² определено только при x ≠ 0. После этого можно сравнить значения с единицей, не забывая о знаке x.

1. Из x⁴ = 16 получаем |x| = 2, потому что 2⁴ = 16. Значит, решения — x = −2 и x = 2.
2. Для неравенства запишем 1/x² > 1 при x ≠ 0. Так как x² положительно, умножаем обе части на x² и получаем 1 > x².
3. Условие x² < 1 равносильно −1 < x < 1. Объединяем его с ограничением x ≠ 0 и исключаем нуль из ответа.

Ответ: уравнение имеет корни −2 и 2; решение неравенства — (−1; 0) ∪ (0; 1).

Типичные ошибки

Включать нуль в область определения отрицательной степени. Ошибка возникает, если смотреть только на запись x⁻ᵐ и не переписывать её дробью. Но x⁻ᵐ = 1/xᵐ, а знаменатель не может равняться нулю. Проверка: подставьте x = 0 в дробную запись и убедитесь, что появляется деление на нуль.

Считать, что xⁿ всегда положительно. Это верно для ненулевого x только при чётном показателе; нечётная степень отрицательного числа отрицательна. Иногда путают знак самого x со знаком результата возведения в степень. Для проверки подставьте x = −1: при нечётном показателе получите −1, при чётном — 1.

Называть функцию нечётной из-за отрицательного показателя. Знак показателя определяет, будет ли степень дробью, а чётность — симметрию функции. Эти признаки отвечают на разные вопросы, поэтому отрицательный показатель сам по себе ничего не говорит о чётности. Проверьте f(−x): совпадение с f(x) означает чётность, а с −f(x) — нечётность.

Соединять ветви графика через x = 0 или считать оси частью графика. Так делают, если забывают, что функция с отрицательным показателем в нуле не определена, а оси лишь являются асимптотами. При приближении к ним график не касается их и не пересекает. Проверьте область определения и поведение дроби 1/xᵐ около нуля и при больших |x|.

Связь с другими темами

Для работы с целыми степенями нужны правила действий со степенями, координатная плоскость, понятия области определения и чётности функции. Умение переписывать отрицательную степень дробью пригодится при преобразовании дробно-рациональных выражений. Свойства степенных функций помогают решать уравнения и неравенства, а анализ их графиков подготавливает к изучению преобразований графиков, показательной и логарифмической функций.

Что запомнить

• Степенная функция имеет вид y = xⁿ, где n — целое число.
• При отрицательном показателе x⁻ᵐ = 1/xᵐ, поэтому x = 0 не входит в область определения.
• При чётном n функция чётная, а при нечётном n — нечётная.
• Для положительного нечётного показателя график проходит через все квадранты по направлению от левого нижнего к правому верхнему.
• Для положительного чётного показателя значения функции неотрицательны, а график симметричен относительно оси Oy.
• Графики функций с отрицательными показателями имеют асимптоты x = 0 и y = 0.