"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г. и др. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г.
Чётность функции показывает, как связаны её значения при противоположных аргументах x и −x. Если они равны, функция чётная; если противоположны — нечётная. Эти свойства помогают увидеть симметрию графика, восстановить его часть и упростить исследование функции. Начинать проверку нужно с области определения: она должна содержать вместе с каждым x также −x. При этом функция может не подходить ни под одно из двух условий.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция называется чётной, если для каждого x из её области определения выполняется равенство f(−x) = f(x). Иными словами, противоположные аргументы дают одинаковые значения функции. Это условие помогает распознать симметрию графика и иногда построить его по половине рисунка.
Функция называется нечётной, если для каждого x из области определения выполняется равенство f(−x) = −f(x). Значения при противоположных аргументах в этом случае тоже противоположны: например, если f(x) = 3, то f(−x) = −3. Такое свойство нужно, чтобы определить симметрию графика относительно начала координат.
Область определения симметрична относительно нуля, если вместе с каждым числом x она содержит и число −x. Например, множество всех действительных чисел симметрично относительно нуля, а множество положительных чисел — нет. Это условие нужно, потому что сравнивать f(x) и f(−x) можно только тогда, когда оба значения существуют.
Функция называется ни чётной, ни нечётной, если она не удовлетворяет ни равенству f(−x) = f(x), ни равенству f(−x) = −f(x) для всех допустимых x. Это не особый вид симметрии, а обычный случай, когда оба условия проверки не подходят. Поэтому не нужно заранее выбирать между чётностью и нечётностью: сначала проверь оба варианта.
Проверку начинают с области определения, потому что определения чётности и нечётности требуют сравнивать значения при x и −x. Если, например, формула имеет смысл при x = 2, но не имеет смысла при x = −2, проверить соответствующее равенство для этой пары нельзя. Значит, область не симметрична относительно нуля, и функция не может быть чётной или нечётной по определению. Проверка области заранее избавляет от вывода, сделанного только по виду формулы.
Равенство f(−x) = f(x) означает, что точки графика с противоположными абсциссами имеют одинаковую ординату. Если точка (x; y) лежит на графике, то на нём лежит и точка (−x; y). Эти точки являются зеркальными отражениями друг друга относительно оси ординат, поэтому весь график чётной функции симметричен относительно этой оси. Именно симметрия объясняет, почему достаточно знать правую часть такого графика, чтобы восстановить левую.
При нечётности знак значения тоже меняется: из точки (x; y) получается точка (−x; −y). Это две точки, расположенные симметрично относительно начала координат, то есть одна получается из другой поворотом на 180°. Поэтому график нечётной функции симметричен относительно начала координат. Если ноль входит в область определения, то из f(0) = −f(0) следует f(0) = 0: график такой функции проходит через начало координат.
Чтобы проверить функцию по формуле, подставь вместо каждого x выражение −x, а затем упрости результат. Сначала сравни его с исходным выражением f(x), а потом — с противоположным ему выражением −f(x). Сравнивать нужно тождественно, то есть для всех допустимых x, а не только для одного удобного числа. Например, совпадение при x = 1 ещё не доказывает чётность: равенство может нарушаться при других аргументах.
Симметрия сохраняется и при некоторых действиях с функциями, если их область определения общая и симметрична относительно нуля. Сумма двух чётных функций остаётся чётной, потому что при замене x на −x каждое слагаемое не меняется. Сумма двух нечётных функций остаётся нечётной, так как оба слагаемых меняют знак. Если перемножить чётную и нечётную функции, произведение меняет знак и поэтому является нечётным.
| Признак | Чётная функция | Нечётная функция |
|---|---|---|
| Условие для области определения | Симметрична относительно нуля | Симметрична относительно нуля |
| Равенство для любого x из области определения | f(−x) = f(x) | f(−x) = −f(x) |
| Симметрия графика | Относительно оси ординат | Относительно начала координат |
| Значение при x = 0, если ноль входит в область определения | Может быть любым | Обязательно равно нулю |
| Пример | f(x) = x² | f(x) = x³ |
Сначала сверяй область определения, затем проверяй равенство в соответствующей колонке. Симметрия графика и значение в нуле служат дополнительными признаками, но для доказательства по формуле нужно проверить равенство для всех допустимых x.
Определить, является ли функция f(x) = x⁴ чётной, нечётной или ни той ни другой.
Определить чётность функции f(x) = x³ − 2x и объяснить, как восстановить часть графика при x < 0, если известна часть при x > 0.
Исследовать на чётность функцию f(x) = (x² + 1)/x с учётом области определения.
Считать функцию чётной или нечётной только по внешнему виду формулы — ошибка: область определения может не быть симметричной. Так бывает, например, у выражений с корнем или знаменателем. Проверь, входит ли −x в область определения вместе с каждым допустимым x. Если нет, необходимое условие нарушено.
Условия f(−x) = f(x) и f(−x) = −f(x) легко перепутать, потому что оба сравнивают значения в противоположных точках. Первое соответствует отражению относительно оси ординат, а второе — симметрии относительно начала координат. После подстановки −x внимательно сравни результат отдельно с f(x) и отдельно с −f(x). Геометрический смысл поможет проверить, не перепутан ли знак.
Проверка равенства только при одном или нескольких выбранных x не доказывает чётность либо нечётность. Равенство может случайно выполняться в этих точках и нарушаться в остальных. По определению условие требуется для каждого x из области определения. Поэтому упрощай выражение с −x и устанавливай тождество, а не делай вывод по числовым примерам.
Нельзя считать, что любая функция обязательно чётная или нечётная. У многих функций не выполняется ни одно из нужных равенств, но иногда ученики выбирают один из вариантов, не проверив второй. Сравни f(−x) с обоими выражениями — f(x) и −f(x). Если ни одно равенство не выполняется тождественно, функция ни чётная, ни нечётная.
Для проверки чётности пригодятся умение находить область определения и подставлять в формулу выражения x и −x. Если область определения найдена неверно, проверка симметрии может привести к ошибочному выводу. При построении графиков свойства чётности и нечётности позволяют восстанавливать одну часть по другой. Позже эти свойства помогают упрощать исследование функций и вычисление значений выражений.
Как проверить, является ли функция чётной?
Сначала проверь, симметрична ли область определения относительно нуля. Затем замени в формуле x на −x и упрости выражение. Если для каждого допустимого x получится f(−x) = f(x), функция чётная.
Почему область определения должна быть симметрична относительно нуля?
Для проверки нужно сравнивать значения функции при x и −x. Если одно из этих чисел не входит в область определения, сравнение невозможно для всех аргументов. Поэтому при допустимом x число −x тоже должно быть допустимым.
Как по графику отличить чётную функцию от нечётной?
График чётной функции не меняется при отражении относительно оси ординат. График нечётной функции не меняется при повороте на 180° вокруг начала координат: каждой точке (x; y) соответствует точка (−x; −y).
Может ли функция быть одновременно чётной и нечётной?
Да, если область определения симметрична относительно нуля и функция всюду на ней равна нулю. Тогда одновременно выполняются f(−x) = f(x) и f(−x) = −f(x). Для функции, не равной нулю хотя бы в одной точке, это невозможно.
Бывает ли функция ни чётной, ни нечётной?
Да, это обычная ситуация: например, функция f(x) = x + 1 на множестве всех действительных чисел. Для неё f(−x) = 1 − x не совпадает ни с f(x), ни с −f(x) при всех x. Значит, функция не обладает ни одним из этих видов симметрии.
§ 18. Четные и нечетные функции
