§ 17. Свойства функций

Определения и обозначения

Область определения функции — множество всех значений аргумента, при которых формула функции имеет смысл; её обозначают D(f). Например, нельзя подставлять в дробь значение, обращающее её знаменатель в ноль. Знание области определения помогает понять, какие x вообще можно использовать.

Область значений функции — множество всех значений, которые принимает функция; её обозначают E(f). Если область определения отвечает на вопрос «какие x допустимы?», то область значений — «какие y получаются?». Это различие нужно, чтобы правильно описывать график и не путать входные данные с результатом.

Нуль функции — значение аргумента, при котором функция равна нулю; его находят из уравнения f(x) = 0. Нулём является именно x, а не запись f(x) = 0. Нули показывают, при каких аргументах график оказывается на оси Ox.

Монотонность функции описывает, как меняются значения функции при изменении аргумента на промежутке. Функция возрастает, если большему аргументу соответствует большее значение, и убывает, если при увеличении аргумента значения уменьшаются. Это свойство позволяет описать направление графика без перечисления всех его точек.

Как это устроено

Область определения устанавливают по формуле, потому что некоторые действия разрешены не при всех значениях x. В дроби знаменатель не должен быть равен нулю, а под корнем чётной степени нельзя оставлять отрицательное выражение. Если ограничений несколько, нужно выполнить их все и взять значения, которые удовлетворяют каждому условию. Так мы не включим в ответ точки, в которых функция не существует.

Область значений описывает возможные результаты вычисления функции, поэтому её ищут среди значений y, а не x. Иногда ответ сразу виден из преобразования формулы: например, квадрат неотрицателен, значит выражение вида (x − a)² + b не меньше b. По графику область значений определяют проекцией графика на вертикальную ось Oy. При этом важно учитывать, достигаются ли крайние значения или график только приближается к ним.

Нули находят решением уравнения f(x) = 0, потому что по определению в нуле результат функции равен нулю. Сначала преобразуют уравнение, затем проверяют, входят ли найденные x в область определения. На графике достаточно отыскать места пересечения с Ox и прочитать их абсциссы. Точки, где график касается оси, тоже дают нули, даже если он не проходит с одной стороны оси на другую.

Возрастание и убывание определяют сравнением значений функции при изменении аргумента. На графике его читают слева направо: движение вверх означает возрастание, вниз — убывание. Для записи указывают промежутки, на которых поведение не меняется, и точно отмечают их границы. Если график сначала поднимается, а затем опускается, весь участок нельзя назвать ни возрастающим, ни убывающим.

Максимум и минимум связаны с поведением функции в окрестности точки: около максимума значения функции не больше значения в этой точке, а около минимума — не меньше. При переходе через такую точку функция часто меняет направление возрастания на убывание или наоборот. Аргумент, при котором достигается экстремум, называют точкой максимума или минимума, а результат функции — максимумом или минимумом. Наибольшее и наименьшее значения на всём промежутке требуют отдельной проверки: локальный экстремум не обязательно является самым большим или самым маленьким значением на всей области.

Основные свойства функции и способы их описания

Сначала определите, о какой величине спрашивают: об аргументе x или о результате y. Затем выберите способ, подходящий к условию: ограничения и уравнения используют для формулы, проекции и направление движения — для графика. Для наибольшего и наименьшего значений учитывайте именно заданную область, а не только вершины графика.

Разбор задач

Дробно-рациональная функция

Задача: для f(x) = (x + 2)/(x − 1) найти область определения и нули функции. Сначала выясним, какие значения запрещены формулой, затем решим уравнение, приравняв функцию к нулю. Так мы отдельно проверим допустимость аргумента и условие нуля.

1. Знаменатель x − 1 не должен равняться нулю, поэтому x − 1 ≠ 0 и x ≠ 1.
2. Следовательно, D(f) — все действительные числа, кроме 1.
3. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решаем x + 2 = 0 и получаем x = −2; это значение допустимо.

Ответ: D(f) = ℝ {1}; нуль функции — x = −2. Проверка подстановкой даёт f(−2) = 0.

Свойства по графику

Задача: по графику функции указать область определения, область значений и нули. Поскольку конкретные точки графика нужно считывать с изображения, здесь важен порядок действий. Вертикальная проекция показывает допустимые x, горизонтальная — возможные y, а пересечения с Ox дают нули.

1. Найдите все точки графика и спроецируйте их на ось Ox. Полученный набор координат x составляет область определения.
2. Спроецируйте график на Oy: значения y, которые покрывает эта проекция, образуют область значений.
3. Найдите пересечения графика с Ox и запишите их абсциссы. Эти значения x являются нулями функции.

Ответ записывают по данным графика: D(f) — проекция на Ox, E(f) — проекция на Oy, нули — абсциссы пересечений с Ox. Не подменяйте одну проекцию другой: координаты по горизонтали относятся к аргументу, по вертикали — к значению функции.

Квадратичная функция

Задача: для f(x) = x² − 4x + 3 найти промежутки убывания и возрастания, а также наименьшее значение. Квадратный трёхчлен удобнее представить так, чтобы сразу увидеть вершину параболы. Выделим полный квадрат и используем направление ветвей.

1. Преобразуем выражение: x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1.
2. Коэффициент при x² положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх, а вершина — её нижняя точка. Из записи видно, что вершина имеет координаты (2; −1).
3. До x = 2 значения функции уменьшаются, после x = 2 — увеличиваются. Минимальное значение равно −1 и достигается при x = 2.

Ответ: функция убывает на (−∞; 2], возрастает на [2; +∞); наименьшее значение равно −1. Точка минимума — x = 2, а значение минимума — f(2) = −1.

Типичные ошибки

Путают область определения и область значений, потому что обе описывают множество чисел. В результате в D(f) могут записать значения y, а в E(f) — аргументы x. Проверьте себя вопросами: «что можно подставить?» и «что может получиться?»; первый относится к области определения, второй — к области значений.

Нулём функции называют f(x) = 0, хотя это условие, а не ответ. Допускают такую ошибку, потому что не различают аргумент и результат функции. После решения уравнения записывайте значение x, а затем подставьте его в формулу: результат должен оказаться равным нулю.

В область определения включают значение, при котором знаменатель равен нулю, или отрицательное подкоренное выражение чётной степени. Обычно ограничение забывают, когда решают уравнение и сразу записывают все его корни. Перед ответом выпишите условия допустимости и проверьте, удовлетворяет ли им каждое найденное значение.

Промежуток монотонности иногда указывают без границ или путают точку максимума со значением максимума. Причина — смешение координат точки: первая координата задаёт x, вторая — y. Проверяйте запись по смыслу: точка максимума является аргументом, а максимум — результатом функции; границы промежутка должны быть явно обозначены.

Связь с другими темами

Для изучения свойств функций нужно уметь читать графики, решать уравнения и учитывать ограничения в выражениях. Эти навыки помогают находить допустимые аргументы, нули и значения функции, не теряя важные условия. Свойства функций, в свою очередь, используют при построении и преобразовании графиков, исследовании уравнений, а также при изучении квадратных и других функций. Например, знание промежутков монотонности помогает оценивать, сколько решений может иметь уравнение.

Что запомнить

• Область определения состоит из допустимых значений аргумента.
• Область значений состоит из возможных значений функции.
• Нули функции находятся решением уравнения f(x) = 0.
• На графике нули — абсциссы точек пересечения с осью Ox.
• На промежутке возрастания значения функции увеличиваются вместе с аргументом.
• Точка максимума или минимума — значение аргумента, а максимум или минимум — значение функции.