§ 16. Способы задания функции

Определения и обозначения

Аналитический способ задания функции — зависимость между аргументом и значением функции задаётся формулой. Например, запись f(x) = 2x − 3 говорит, какие действия нужно выполнить с аргументом. Такой способ удобен, когда требуется точно вычислить значение или исследовать зависимость.

Табличный способ задания функции — соответствие между аргументами и значениями функции представлено таблицей. Каждая строка связывает конкретное значение x с соответствующим f(x). Таблица помогает быстро находить уже указанные пары, например при обработке измерений.

Графический способ задания функции — функция задаётся графиком, то есть множеством точек с координатами (x; f(x)). Горизонтальная координата точки показывает аргумент, а вертикальная — значение функции. График позволяет увидеть, как меняется зависимость, и считывать значения.

Словесный способ задания функции — правило, по которому каждому допустимому аргументу ставится в соответствие значение, описано словами. Например: «значение функции вдвое больше аргумента и уменьшено на три». Словесное правило полезно, когда зависимость проще объяснить, чем сразу записать формулой.

Как это устроено

Функцию можно задавать по-разному, но каждый способ должен позволять определить её значение для допустимого аргумента. Допустимые аргументы — это те значения переменной, для которых правило имеет смысл. Формула даёт правило вычисления, таблица перечисляет отдельные результаты, график показывает их геометрически, а описание словами объясняет действия. Поэтому способы различаются видом записи, но могут передавать одну и ту же зависимость.

Чтобы найти значение функции по формуле, сначала определите, какой аргумент дан, и подставьте его вместо x. Затем выполните действия в установленном порядке, соблюдая правила знаков и порядок операций. Например, для f(x) = 2x − 3 при x = 4 получаем f(4) = 2 · 4 − 3 = 5. Здесь 4 — входное значение, а 5 — результат применения правила.

Таблица показывает связь только для тех аргументов, которые в ней перечислены. Это связано с тем, что строки содержат отдельные пары значений, а не обязательно правило для всех возможных x. Между указанными аргументами функция может принимать самые разные значения. Поэтому значение для аргумента, которого нет в таблице, нельзя определить без дополнительной информации о зависимости.

Чтобы прочитать значение по графику, найдите на горизонтальной оси нужную абсциссу x. От неё мысленно проведите вертикальное направление до точки графика и определите ординату этой точки по вертикальной оси. Полученная координата y равна f(x), потому что точки графика имеют вид (x; f(x)). Если нужной точки или соответствующего участка на графике нет, значение по нему определить нельзя.

Словесное правило можно превратить в вычисления: выделить действия над аргументом и выполнить их по порядку. Например, «удвоить число и вычесть три» для аргумента x записывается как 2x − 3, а для конкретного числа — как подстановка в эту формулу. Обратный переход тоже возможен: формулу 2x − 3 можно описать словами. Так одну зависимость удаётся представить разными способами и выбирать самый удобный для задачи.

Способы задания функции

Сначала определите, какая информация дана: формула, таблица, график или описание. Затем примените соответствующий способ поиска значения и проверьте, не выходите ли за пределы указанных данных. Таблица особенно удобна для отдельных результатов, а формула — для вычисления значений при разных аргументах.

Разбор задач

Задача 1. Функция задана формулой f(x) = 2x − 3. Найдите f(4) и укажите, каким способом задана функция.

1. В записи f(4) число 4 — аргумент, поэтому заменяем им x в формуле.
2. Вычисляем: f(4) = 2 · 4 − 3 = 8 − 3 = 5.
3. Зависимость записана формулой, значит, использован аналитический способ.

Ответ: f(4) = 5; функция задана аналитически. Подстановка показывает, что результатом правила для аргумента 4 является число 5.

Задача 2. Дана таблица значений функции для x = −2, 0, 3. Найдите значение функции при x = 0 и определите, можно ли по этой таблице найти f(1).

1. В таблице находим строку, где аргумент равен 0, и считываем стоящее рядом значение функции. Если оно обозначено, например, как f(0) = a, то ответ для этой части — a.
2. Аргумента 1 среди указанных значений −2, 0, 3 нет. Следовательно, таблица сама по себе не сообщает f(1).
3. Чтобы найти f(1), потребовались бы дополнительные данные: например, формула или правило, по которому составлена таблица.

Ответ: f(0) — значение из строки x = 0; f(1) по указанным данным определить нельзя. Нельзя придумывать числовой результат, если в условии не приведено само значение в таблице.

Задача 3. График зависимости пройденного пути s от времени t задан на рисунке. Определите путь через 2 часа и время, за которое пройдено 6 км; опишите зависимость словесно.

1. В этой зависимости время t — аргумент, а пройденный путь s — значение функции. На графике t обычно откладывают по горизонтали, s — по вертикали.
2. Для пути через 2 часа находим t = 2 и считываем соответствующую ординату s. Чтобы узнать время для 6 км, ищем на вертикальной оси s = 6, затем определяем абсциссу точки графика.
3. Численные ответы зависят от самого графика, поэтому без его изображения их нельзя указать. Словесно зависимость описывают по ходу графика: например, говорят, увеличивается ли путь со временем и как меняется скорость его увеличения.

Ответ: путь при t = 2 равен ординате графика в этой точке, а время для 6 км — её абсциссе при s = 6. По графику также формулируют, как пройденный путь зависит от времени.

Типичные ошибки

При подстановке в формулу путают аргумент и значение функции: например, считают f(4) аргументом, хотя аргумент здесь равен 4, а f(4) — результат. Так происходит, потому что обозначения стоят рядом и выглядят похоже. Проверка простая: сначала назовите число на входе, затем вычислите результат; в формуле вместо x подставляется именно аргумент.

Иногда по таблице считают известными значения для всех аргументов, хотя она содержит лишь отдельные строки. Причина — привычка воспринимать таблицу как полное описание правила. Проверьте, есть ли нужный аргумент среди строк: если его нет, одного табличного задания недостаточно, чтобы найти значение.

При чтении графика за значение функции принимают абсциссу точки. Путаница возникает из-за того, что на плоскости у точки две координаты. Для самопроверки вспомните: x откладывают горизонтально, а f(x) считывают вертикально; при заданном x ищут ординату.

Можно ошибочно решить, что любой рисунок на координатной плоскости является графиком функции. Однако одному допустимому x должны соответствовать не более одного значения y. Проведите мысленно вертикальную прямую: если она пересекает изображение в нескольких точках, функция так не задана.

Связь с другими темами

Для работы с функциями нужны координаты точек на плоскости, понимание роли переменной и умение подставлять числа в выражения. Эти знания помогают правильно читать запись f(x), вычислять значения и определять точки графика. Позже разные способы задания пригодятся при изучении области определения и множества значений, а также при построении и исследовании графиков.

Таблицы и графики полезны не только в алгебре: ими описывают результаты опытов и прикладные зависимости. Например, по таблице измерений можно построить график и увидеть общую картину изменения величины. Формула, если она известна, помогает уточнить значения между отдельными наблюдениями.

Что запомнить

• Функцию можно задать формулой, таблицей, графиком или словесным правилом.
• При аналитическом задании значение находят подстановкой аргумента в формулу.
• Таблица содержит значения только для перечисленных аргументов.
• На графике аргумент откладывают по горизонтальной оси, а значение функции — по вертикальной.
• Каждому допустимому аргументу функции соответствует ровно одно значение.
• Одну и ту же функцию можно представить разными способами.