"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Функция описывает зависимость, в которой каждому допустимому значению аргумента соответствует ровно одно значение. Она помогает задавать и исследовать связи между величинами. Функцию можно представить формулой, таблицей, графиком или словами. Аргумент обычно обозначают x, а полученное значение — y или f(x). Выбор способа зависит от того, что удобнее вычислять, сравнивать или изображать.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению независимой переменной соответствует ровно одно значение зависимой переменной. Например, правилу y = 2x − 1 число 3 сопоставляет только число 5. Это определение помогает отличить функцию от зависимости, в которой одному аргументу могут соответствовать разные результаты.
Независимая переменная — аргумент функции, обычно его обозначают буквой x. Его значение выбирают или задают первым, а затем по правилу находят результат. Понимание роли x нужно, чтобы правильно подставлять числа в формулу и читать график.
Зависимая переменная — значение, которое определяется аргументом; её обычно обозначают y или f(x). Запись f(3) означает значение функции при аргументе 3, а не произведение f на 3. Эта запись показывает, какой результат получен для конкретного входного значения.
Способ задания функции — форма записи, позволяющая определить соответствие между аргументом и значением функции. Одно правило можно выразить формулой, таблицей, графиком или словами. Такие формы нужны, чтобы вычислять значения, находить пары и исследовать зависимость.
При задании функции формулой записывают правило вычисления значения по аргументу, например y = x² + 1. Чтобы найти результат, в формулу подставляют допустимое значение x и выполняют действия. Нужно учитывать область допустимых значений: например, в дроби знаменатель не может быть равен нулю, иначе правило не определено.
При табличном задании перечисляют значения аргумента и соответствующие им значения функции. Каждая строка или столбец образует пару: одному x соответствует стоящий рядом y. Таблица удобна, когда нужно быстро сравнить несколько результатов, но записанные пары не обязаны исчерпывать все значения функции.
При графическом задании функцию представляют точками координатной плоскости. Абсцисса точки, то есть координата по горизонтальной оси, показывает аргумент, а ордината по вертикальной оси — значение функции. График позволяет увидеть изменение зависимости и приблизительно определить результат даже без подробных вычислений.
Функцию можно задать словесным описанием правила, если из текста однозначно понятно, что делать с каждым допустимым аргументом. Например: «каждому числу сопоставить число, увеличенное на 4». Такое описание должно исключать разные варианты результата для одного входного значения. Разные способы могут задавать одну и ту же функцию, однако таблица часто содержит только конечный набор пар, а не всю зависимость.
| Способ | Как задаётся соответствие | Что удобно увидеть | Пример |
|---|---|---|---|
| Формулой | Записывается правило вычисления | Как найти значение для любого допустимого аргумента | y = 2x − 1 |
| Таблицей | Приводятся пары значений аргумента и функции | Конкретные результаты и их сравнение | x: −1, 0, 2; y: 3, 1, −3 |
| Графиком | Отмечаются точки на координатной плоскости | Изменение функции и положение точек | Точки (x; y) для y = 2x − 1 |
| Словесным описанием | Правило формулируется словами | Смысл зависимости и порядок действий | «Увеличить число на 4» |
Чтобы пользоваться таблицей, находят заданное значение x и смотрят на значение y в той же паре. При работе с графиком сначала ищут аргумент на оси x, а затем считывают высоту точки по оси y. Формулу применяют подстановкой, а словесное правило сначала переводят в понятную последовательность действий.
Условие: функция задана формулой y = 2x − 1. Найдите значение функции при x = 3. Здесь известен аргумент, поэтому нужно получить соответствующий ему результат.
Подставим вместо x число 3: y = 2 · 3 − 1.
Выполним умножение: 2 · 3 = 6.
Вычтем 1: y = 6 − 1 = 5.
Ответ: значение функции при x = 3 равно 5.
Условие: по таблице x: −1, 0, 2 и y: 3, 1, −3 определите значение функции при x = 0 и аргумент, которому соответствует y = −3. Нужно читать числа попарно, не смешивая порядок записей.
Составим пары: (−1; 3), (0; 1), (2; −3).
В паре с x = 0 второе число равно 1, значит f(0) = 1.
Числу y = −3 соответствует третья пара, поэтому её аргумент равен 2.
Ответ: f(0) = 1; аргумент, которому соответствует −3, равен 2.
Условие: для функции y = x² постройте таблицу при x = −2, −1, 0, 1, 2, отметьте точки и изобразите график. Сначала вычисляют значения, затем переносят полученные пары на координатную плоскость.
Подставим аргументы в формулу: при −2 и 2 получаем 4, при −1 и 1 получаем 1, при 0 получаем 0.
Таблица имеет вид: x: −2, −1, 0, 1, 2; y: 4, 1, 0, 1, 4.
Отметим точки (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4). Затем изобразим график функции, помня, что эти точки являются выбранными точками графика, а не обязательно всеми его точками.
Ответ: получены указанные пять точек и таблица значений; по ним строят график y = x².
Считать любую зависимость функцией. Ошибка возникает, когда не проверяют единственность результата. Для одного допустимого x должно быть ровно одно y; полезно проверить это по формуле, таблице или графику.
Путать аргумент и значение функции. Аргумент принимают за результат, потому что оба числа записаны рядом. Сначала ищите входное значение x, а затем определяйте полученное y или f(x).
Считать конечную таблицу полной. Несколько строк могут создать впечатление, что других значений нет. Проверьте, сказано ли, что перечислены все допустимые аргументы, или таблица лишь показывает выбранные пары.
Читать значение функции по горизонтальной координате. Такая ошибка появляется при смешении осей. Найдите x на горизонтальной оси, проведите взгляд к графику и считайте y по вертикальной оси.
До изучения способов задания функции нужно уметь подставлять числа в выражения и выполнять вычисления. Также необходимы навыки работы с координатной плоскостью: нужно различать оси, абсциссу и ординату точки.
Эти знания пригодятся при изучении графиков и свойств функций: по разным записям можно исследовать изменение зависимости. Они также нужны при решении уравнений графическим способом, когда ответ находят по точкам пересечения графиков.
Какими способами можно задать функцию?
Функцию задают формулой, таблицей, графиком или словесным описанием правила. Каждый способ показывает соответствие между аргументом и значением функции.
Чем аргумент отличается от значения функции?
Аргумент — это заданное входное значение, обычно x. Значение функции — результат, который получают для этого аргумента, обычно y или f(x).
Почему таблица не всегда задаёт все значения функции?
В таблице часто записывают только несколько выбранных пар значений. Поэтому она может показывать отдельные случаи, а не всю зависимость на допустимой области.
Как по графику определить значение функции?
Сначала находят заданный аргумент на горизонтальной оси x. Затем поднимаются или опускаются до графика и считывают соответствующую координату y на вертикальной оси.
Могут ли формула, таблица и график описывать одну и ту же функцию?
Да, могут. Формула задаёт правило, таблица показывает выбранные пары, а график изображает эти пары точками или линией.
5.1.2. Способы задания функции
