"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Функциональная зависимость связывает две величины так, что каждому допустимому значению одной соответствует ровно одно значение другой. Например, стоимость яблок зависит от их массы, а периметр квадрата — от длины его стороны. Независимую величину называют аргументом, зависимую — значением функции. Запись y = f(x) показывает, что значение y находят по правилу f, подставляя x. Понимание этих обозначений помогает переводить условия задач на язык формул и вычислять неизвестные величины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функциональная зависимость — это соответствие, при котором каждому допустимому значению одной величины соответствует единственное значение другой. Например, если известна сторона квадрата, его периметр можно найти однозначно. Это определение помогает отличить функцию от ситуации, где одному исходному значению отвечают разные результаты.
Независимая переменная, или аргумент, — величина, значение которой выбирают или задают. Обычно её обозначают буквой x. Не каждое число обязательно подходит: допустимые значения аргумента определяются формулой и условиями задачи, например ограничением времени движения.
Зависимая переменная — величина, значение которой определяется выбранным аргументом и правилом зависимости. Её часто обозначают буквой y. Это обозначение показывает, что результат нельзя найти, пока не известно значение аргумента.
Функцией называют зависимость, заданную правилом; её записывают y = f(x). Здесь f обозначает правило, а f(x) — значение функции при данном x. Например, если правило задаётся формулой f(x) = 4x, то при x = 3 значение функции равно f(3) = 12.
Рассмотрим покупку яблок по фиксированной цене: один килограмм стоит 120 рублей. Чем больше масса покупки, тем выше стоимость, и для каждой массы можно вычислить конкретную цену. Связь описывается правилом «массу умножить на 120», поэтому масса — аргумент, а стоимость — зависимая величина.
Для функции недостаточно просто связать две величины: одному значению аргумента должен соответствовать ровно один результат. Иначе правило не позволяет однозначно узнать зависимую величину. Например, если при одной и той же массе яблок можно получить разные стоимости, значит, в условии меняется цена или есть другие обстоятельства, которые тоже нужно учитывать.
Чтобы выбрать x и y, прочитайте условие и спросите себя: какую величину задают, а какую требуется найти через неё? Заданную величину удобно обозначить x, а вычисляемую — y. Например, если известна сторона квадрата и нужно найти периметр, x можно использовать для стороны, а y — для периметра; если задано время движения и ищут путь, аргументом будет время.
Словесное правило превращают в формулу, заменяя названия величин буквами и записывая известное действие. Если путь за каждый час увеличивается на 12 км, то за t часов он равен s = 12t. Чтобы найти путь за 2,5 часа, подставляют t = 2,5: s = 12 · 2,5 = 30 км. Подстановка показывает, как общее правило работает для конкретного аргумента.
Область допустимых значений аргумента — это все значения, которые подходят для данной ситуации. Формула s = 12t допускает подстановку отрицательного t, но отрицательное время движения здесь не имеет смысла. Если велосипедист ехал только первые 3 часа, подходят значения от 0 до 3 включительно: 0 ≤ t ≤ 3. Значит, область аргумента определяют и по формуле, и по условию задачи.
| Элемент | Что означает | Обозначение | Пример |
|---|---|---|---|
| Независимая переменная | Величина, значение которой задают | x | Масса яблок m |
| Зависимая переменная | Величина, которую находят по аргументу | y | Стоимость C |
| Правило зависимости | Способ вычислить зависимую величину | f | C = 120m |
| Значение функции при заданном аргументе | Результат применения правила к аргументу | f(x) | f(5) = 20 при f(x) = 4x |
В таблице сначала найдите аргумент — величину, которую задают, — затем зависимую величину и правило связи. Последняя строка показывает уже не общее правило, а конкретный результат после подстановки. Буквы могут отличаться от x и y, если так удобнее обозначить величины из условия.
Сторона квадрата равна a см. Запишите зависимость его периметра P от a и найдите P при a = 5 см. Сторону задают, а периметр вычисляют по ней, поэтому a — независимая величина. Периметр квадрата равен четырём сторонам.
Ответ: P = 4a; при a = 5 см периметр равен 20 см.
Один килограмм яблок стоит 120 рублей. Запишите зависимость стоимости покупки C от массы m и найдите стоимость 2,5 кг. Массу можно задать, а цену покупки вычислить, поэтому аргументом будет m. При постоянной цене общую стоимость находят умножением цены за килограмм на массу.
Ответ: C = 120m; 2,5 кг яблок стоят 300 рублей.
За первые 3 часа велосипедист проезжал каждый час по 12 км. Запишите зависимость пути s от времени t, укажите допустимые значения t и найдите путь за 2,5 часа. Время задают, а путь находят, поэтому t — аргумент. Условие ограничивает движение первыми тремя часами.
Ответ: s = 12t при 0 ≤ t ≤ 3; за 2,5 часа велосипедист проедет 30 км.
Меняют местами независимую и зависимую величины, если не замечают, что задаётся в условии, а что вычисляется. Тогда формула может показывать обратную связь и не отвечать вопросу задачи. Проверьте себя вопросом: какую величину я могу выбрать, а какую нахожу по ней?
Иногда зависимость называют функцией, хотя одному аргументу соответствуют разные значения второй величины. Так бывает, если забыть условие однозначности. Подставьте одно и то же значение аргумента и проверьте, получается ли всегда один результат; если возможны разные, правило нужно уточнить.
Формулу могут записать без учёта смысла величин: например, принять отрицательную массу или время за пределами указанного промежутка. Ошибка возникает, если ориентироваться только на подстановку в выражение. Перед вычислением выпишите ограничения из условия и проверьте, подходит ли им ответ.
Аргумент x иногда путают со значением функции f(x). x подставляют в правило, а f(x) получают после вычисления, поэтому это разные величины. Для проверки подставьте конкретное число, например x = 5, и отдельно запишите исходное значение и результат.
Для работы с зависимостями нужно уметь выражать одну величину через другую по известной формуле и подставлять числовые значения вместо букв. Эти навыки помогают перейти от условия задачи к вычислениям. Понятие функции станет основой для изучения способов задания функций, их графиков и свойств.
Функциональные зависимости встречаются в задачах о движении, стоимости покупок, геометрических величинах и других ситуациях. Во всех таких задачах важно понять, что задаётся, что вычисляется и какие значения допустимы. Тогда формула становится краткой записью правила из условия.
Чем функция отличается от любой зависимости между величинами?
В любой зависимости величины могут быть связаны, но функция требует строгого условия: каждому допустимому значению аргумента соответствует ровно одно значение зависимой величины. Если для одного аргумента возможны два разных результата, это не функция.
Почему зависимую величину нельзя выбрать независимо от аргумента?
В функциональной зависимости её значение задаётся правилом и выбранным аргументом. Если изменить аргумент, результат может измениться, поэтому зависимую величину нельзя произвольно назначить отдельно.
Что означает запись f(x)?
f обозначает правило, по которому находят зависимую величину, а f(x) — результат применения этого правила к числу x. Например, если f(x) = 4x, то f(5) = 20.
Как понять, какую величину считать аргументом?
Аргументом обычно выбирают величину, которую задают или меняют, а по ней вычисляют другую. Проверьте условие задачи: если известно время и требуется путь, аргументом будет время.
Почему у формулы может быть не любое допустимое значение аргумента?
Формула может позволять подставить число, которое не подходит по смыслу задачи. Например, масса не бывает отрицательной, а время поездки может быть ограничено продолжительностью движения.
5.1.1. Функциональная зависимость между величинами
