§ 1. Понятие функции и ее практическое применение

Определения и обозначения

Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной. Например, каждому числу купленных тетрадей соответствует одна их стоимость. Это определение позволяет отличить функцию от зависимости, в которой один вход даёт несколько результатов.

Аргумент функции — независимая переменная, обычно обозначаемая буквой x. Её значение выбирают или задают первым: например, число карандашей в покупке. Понимание аргумента помогает знать, какое число нужно подставлять в правило.

Значение функции — значение зависимой переменной y, соответствующее выбранному аргументу. Запись y = f(x) показывает значение функции f при аргументе x. Иными словами, сначала выбирают x, а затем по формуле или другому правилу находят результат.

Область определения функции — множество всех значений аргумента, для которых функция задана. В неё входят только допустимые числа: например, количество предметов не может быть отрицательным, а знаменатель дроби не может равняться нулю. По области определения проверяют, какие значения действительно можно использовать.

Как это устроено

В практической ситуации одна величина часто зависит от другой: стоимость покупки зависит от количества товаров, а пройденное расстояние — от времени движения. Сначала нужно выяснить, какую величину выбирают, а какая получается в результате. Если количество товара обозначить x, то стоимость обычно обозначают y, потому что она меняется вслед за x.

Зависимость является функцией, если каждому допустимому аргументу соответствует ровно одно значение зависимой величины. Это необходимо, чтобы по выбранному входу можно было однозначно получить результат. При этом одному значению функции могут соответствовать разные аргументы: например, расстояние 10 км можно пройти за разное время с разной скоростью.

Область определения находят из смысла ситуации и способа задания. Если x обозначает число предметов, обычно берут неотрицательные целые значения, а если время — неотрицательные числа. При работе с формулой дополнительно исключают значения, при которых появляется деление на ноль или другое недопустимое действие.

Одну и ту же функцию можно описать словами, таблицей, формулой или графиком. Словесное описание объясняет правило, таблица показывает отдельные пары значений, формула позволяет быстро вычислять результат, а график помогает увидеть изменение зависимости. Поэтому разные способы не противоречат друг другу, а дополняют описание.

Формула превращает правило в вычисление: вместо аргумента подставляют заданное число и выполняют действия по порядку. Если аргумент отрицательный, его заключают в скобки, чтобы не ошибиться со знаками. В прикладной задаче после вычисления проверяют единицы измерения и соответствие результата реальной ситуации.

Способы задания функции

При выборе способа учитывают цель работы. Таблица удобна для нескольких готовых значений, а формула — для быстрых вычислений при любом допустимом аргументе. График позволяет сравнивать значения и видеть общий характер изменения функции.

Разбор задач

Задача 1. Один карандаш стоит 8 рублей. Составьте зависимость стоимости покупки y от числа карандашей x и найдите стоимость 5 карандашей.

1. Стоимость зависит от количества карандашей, поэтому x — аргумент, а y — значение функции.
2. За каждый карандаш платят 8 рублей, значит общую стоимость получают умножением: y = 8x.
3. Подставим x = 5: y = 8 · 5 = 40.

Ответ: зависимость задаётся формулой y = 8x, стоимость 5 карандашей равна 40 рублям.

Задача 2. Расстояние задано формулой s = 60t, где s — километры, t — часы. Найдём расстояние за 2,5 часа.

1. Аргументом является время t, а значением функции — расстояние s.
2. Подставим t = 2,5: s = 60 · 2,5 = 150.
3. Единица результата — километр, потому что скорость 60 км/ч умножается на время в часах.

Ответ: за 2,5 часа пройдут 150 км; это расстояние, пройденное за указанное время.

Задача 3. Для функции y = 2x − 3 найдём значения при x = −1, 0 и 4, а затем проверим, какие из чисел −2, 1, 5 дают y = 7.

1. Подставим значения по очереди: при x = −1 получаем y = 2 · (−1) − 3 = −5; при x = 0 получаем y = −3; при x = 4 получаем y = 5.
2. Для обратного поиска составим уравнение 2x − 3 = 7.
3. Тогда 2x = 10 и x = 5. Из предложенных чисел только 5 даёт значение функции 7.

Ответ: значения равны −5, −3 и 5; условие y = 7 выполняется только при x = 5.

Типичные ошибки

Ошибка — считать зависимость функцией, если одному аргументу соответствуют два результата. Так бывает, когда смотрят только на наличие связи, но забывают о единственности результата. Проверьте каждый допустимый аргумент: для него должна находиться ровно одна величина.

Можно перепутать аргумент и значение функции. Аргумент задают или выбирают, а значение находят по правилу, поэтому при чтении формулы сначала определите, какая переменная является входной. Полезно проговорить: «дано x, требуется найти y».

При подстановке иногда нарушают порядок действий или теряют знак отрицательного числа. Особенно опасно писать −1 без скобок в выражении с умножением или степенью. Запишите подстановку полностью, например 2 · (−1) − 3, и только потом считайте.

Ещё одна ошибка — забыть ограничения ситуации или формулы. Количество предметов не может быть отрицательным, а дробь с нулевым знаменателем не существует. Перед вычислением перечислите допустимые значения и после ответа проверьте его смысл.

Связь с другими темами

До изучения функций нужно уметь работать с переменными, подставлять числа в буквенные выражения и находить значения выражений. Эти навыки используются каждый раз, когда аргумент заменяют числом в формуле. Аккуратная работа со знаками и порядком действий помогает избежать ошибок.

Понятие функции понадобится при изучении линейной функции, построении и чтении графиков. Оно также помогает описывать зависимости в текстовых и практических задачах: цену от количества, путь от времени, расход материала от размера работы.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому аргументу ставит в соответствие ровно одно значение.
• Аргумент обычно обозначают x, значение функции — y или f(x).
• Область определения — все допустимые значения аргумента.
• Значение функции находят подстановкой аргумента в правило или формулу.
• Функцию можно задавать словами, таблицей, формулой и графиком.
• В прикладной задаче результат должен соответствовать смыслу величин и их единицам.