§ 25 Способы задания функции

Определения и обозначения

Способ задания функции — форма, в которой указано, как каждому допустимому значению аргумента ставится в соответствие значение функции. Он нужен, чтобы точно описать зависимость и уметь пользоваться ею в вычислениях.

Аналитический способ задания функции — задание зависимости с помощью формулы, например y = 2x + 1. Формула показывает правило вычисления и позволяет найти результат для выбранного аргумента.

Табличный способ задания функции — представление соответствующих значений аргумента и функции в виде таблицы. Такой способ удобен, когда нужно быстро увидеть или сравнить несколько готовых пар чисел.

Графический способ задания функции — представление функции множеством точек её графика на координатной плоскости. Он помогает видеть зависимость и находить значения по координатам точек.

Как это устроено

Одна и та же функция может быть задана разными способами, потому что все они описывают одно соответствие между аргументом и значением функции. Формула, таблица и график выглядят по-разному, но в каждом случае речь идёт о тех же парах чисел. Поэтому можно переходить от одного способа к другому, не меняя саму функцию.

При аналитическом задании формула является правилом вычисления. Если известен аргумент x, в формулу подставляют его вместо переменной и получают y. Например, для y = 2x + 1 при x = 3 получаем y = 2 · 3 + 1 = 7, поэтому формула позволяет найти значение для любого допустимого аргумента.

При табличном задании известны только значения функции для аргументов, включённых в таблицу. Именно поэтому таблица может описывать функцию не полностью: о значении при аргументе, которого в ней нет, ничего узнать нельзя без дополнительного правила. Зато для указанных аргументов ответ уже дан в готовом виде.

При графическом задании значение функции находят по координате точки графика, соответствующей выбранному аргументу. Сначала на оси x выбирают нужное число, затем проводят вертикаль до графика и считывают координату y. Обратный поиск устроен так же: по заданному y находят точки графика и смотрят их абсциссы, то есть значения x.

Словесное задание описывает правило зависимости обычными словами. Например, фраза о стоимости поездки сообщает постоянную плату и добавочную плату за каждый километр. Для вычислений такое описание часто переводят в формулу, а затем при необходимости составляют таблицу или строят график.

Способы задания функции

Таблицу удобно читать по столбцам: сначала находят нужное значение аргумента, затем смотрят соответствующее ему значение функции. При переходе к графику каждую пару из таблицы записывают как координаты точки (x; y). Формулу можно использовать для проверки табличных значений и построения новых точек.

Разбор задач

Задача 1

Стоимость поездки равна 50 рублям плюс 30 рублей за каждый километр пути. Нужно определить способ задания функции и записать соответствующую формулу. Обозначим длину пути через x, а стоимость поездки — через y.

1. Выделим постоянную часть стоимости: 50 рублей платят независимо от длины пути.
2. За x километров добавляется 30x рублей, потому что за каждый километр платят 30 рублей.
3. Составим зависимость: y = 30x + 50.

Ответ: исходное описание является словесным способом, а соответствующая формула — y = 30x + 50.

Задача 2

По формуле y = 3x − 2 нужно составить таблицу для x = −1, 0, 1, 2 и отметить полученные точки на координатной плоскости. Сначала найдём каждое значение y, подставляя аргумент в формулу. Затем запишем результаты как пары координат.

1. При x = −1: y = 3 · (−1) − 2 = −5, получаем точку (−1; −5).
2. При x = 0: y = 3 · 0 − 2 = −2, получаем точку (0; −2).
3. При x = 1: y = 3 · 1 − 2 = 1, получаем точку (1; 1).
4. При x = 2: y = 3 · 2 − 2 = 4, получаем точку (2; 4).
5. В таблице записываем строки x: −1, 0, 1, 2 и y: −5, −2, 1, 4, а на плоскости отмечаем четыре найденные точки.

Ответ: пары значений — (−1; −5), (0; −2), (1; 1), (2; 4). Таблица и отмеченные точки задают выбранную часть функции.

Задача 3

По графику нужно определить значение функции при x = 2 и значения аргумента, при которых y = 3. График показывает точки, у каждой из которых первая координата — x, а вторая — y. Поэтому поиск выполняем по нужной координате.

1. Находим на оси x число 2 и проводим вертикаль до графика.
2. Считываем ординату точки пересечения: это значение функции f(2).
3. Для условия y = 3 находим на оси y число 3 и проводим горизонталь до графика.
4. У точек пересечения считываем координаты x по горизонтальной оси; это и есть нужные аргументы.

Ответ: значение функции при x = 2 и аргументы при y = 3 определяют по соответствующим координатам точек графика.

Типичные ошибки

Путают аргумент и значение функции. Иногда x считают результатом, хотя x — независимая переменная, а y или f(x) — результат. Проверьте себя: первая координата точки относится к оси x, вторая — к оси y.

Считают таблицу полной для любых аргументов. Такая ошибка возникает потому, что таблица выглядит как готовое правило. Посмотрите, есть ли в ней нужный аргумент: если его нет, значение нельзя узнать только из таблицы.

Неправильно строят график. Значения x и y могут откладывать на одной оси или менять местами. Проверяйте каждую точку по записи (x; y): сначала двигайтесь по оси x, затем по оси y.

Смешивают формулу и отдельное значение. Равенство f(2) = 5 сообщает лишь одну пару (2; 5), а не всю зависимость. Чтобы задать функцию полностью, нужна формула, таблица с оговорёнными значениями или график.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь пользоваться координатной плоскостью, строить точки по координатам и различать аргумент и значение функции. Также пригодятся вычисление значений выражений и составление таблиц. Способы задания функции понадобятся при изучении линейной функции, построении графиков и решении практических задач, где величины зависят друг от друга.

Что запомнить

• Функцию можно задавать словесно, формулой, таблицей или графиком.
• При аналитическом задании зависимость записывают формулой.
• Таблица содержит пары соответствующих значений аргумента и функции.
• График функции состоит из точек с координатами (x; f(x)).
• По формуле можно вычислить значение функции для допустимого аргумента.
• По графику можно находить значения функции и аргумента по координатам точек.
• Разные способы могут задавать одну и ту же функцию.