"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
График функции — это изображение всех пар чисел, в которых первому числу x соответствует значение функции f(x). Он помогает увидеть, как меняется функция, находить её значения и определять, при каких аргументах она принимает заданное число. Чтобы построить график, выбирают допустимые аргументы, вычисляют значения функции и отмечают точки (x; f(x)). По нескольким точкам линию проводят только тогда, когда известно, как функция ведёт себя между ними.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
График функции — множество всех точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), где x принадлежит области определения функции. Иными словами, каждая такая точка показывает пару: выбранный аргумент и полученное значение. Это определение помогает понять, какие именно точки должны составлять график.
Аргумент функции — значение x, которому по правилу функции соответствует значение f(x). Аргумент обычно откладывают по горизонтальной оси координат. Он нужен, чтобы указать, для какого входного числа рассматривается функция.
Значение функции — число f(x), соответствующее выбранному аргументу x. Его откладывают по вертикальной оси. Значение показывает результат применения правила функции к аргументу.
Точка графика функции — точка (x; y), для которой x принадлежит области определения и y = f(x). Первая координата такой точки является аргументом, а вторая — значением функции. Это позволяет проверить любую точку подстановкой её первой координаты в формулу.
Чтобы получить точку графика, сначала выбирают допустимое значение аргумента x, затем вычисляют f(x) и отмечают точку (x; f(x)). Аргумент нельзя выбирать наугад: для некоторых значений правило функции не имеет смысла, например при делении на ноль. Поэтому проверка допустимости x нужна ещё до вычисления. Только после неё можно быть уверенным, что построенная точка действительно относится к графику.
Каждой точке графика соответствует пара чисел: первая координата — аргумент, вторая — значение функции. Именно такой порядок связан с расположением осей: x отсчитывают по горизонтали, y — по вертикали. Если переставить числа местами, получится другая точка, которая обычно не удовлетворяет правилу функции. Поэтому при записи пары (x; f(x)) сначала всегда указывают аргумент.
Точка (a; b) принадлежит графику тогда и только тогда, когда a входит в область определения и f(a) = b. Одной допустимости числа a недостаточно: функция при этом аргументе может иметь значение, не равное b. Нужно проверить оба условия, потому что график содержит только точки, согласованные с правилом функции. Такая проверка сводится к подстановке a в формулу и сравнению результата с b.
Таблица значений помогает построить график, когда для нескольких выбранных аргументов вычисляют значения функции. Каждая строка таблицы даёт пару координат, которую можно нанести на плоскость. Таблица удобна тем, что снижает риск перепутать аргумент и результат вычисления. Чем внимательнее выбраны значения x, тем нагляднее будет построение, но сама таблица не заменяет график.
Проведённая через отмеченные точки линия должна отражать все точки графика, а не только выбранные для таблицы. Между ними функция может меняться по-разному, поэтому нельзя без обоснования соединять их произвольной линией. Вид формулы подсказывает, какую линию проводить: например, график линейной функции является прямой. Для других функций способ соединения точек нужно выбирать с учётом их свойств.
График функции y = 2x − 1
Таблица показывает, какой вопрос можно решить по графику и что именно нужно на нём найти. Сначала выбери подходящую строку по данным задачи, затем выполни указанную проверку или считывание координат. Помни, что значения по осям читают с учётом их масштаба.
| Что дано | Что можно определить | Как проверить |
|---|---|---|
| Точка (a; b) | Принадлежит ли она графику | Проверить, входит ли a в область определения и равно ли f(a) числу b |
| Аргумент x = a | Значение функции f(a) | Найти на графике точку с абсциссой a и прочитать её ординату |
| Значение функции y = b | Аргументы, при которых f(x) = b | Найти точки пересечения графика с горизонтальной прямой y = b и прочитать абсциссы |
Постройте график функции y = 2x − 1, используя значения x = −1, 0, 1, 2. Сначала найдём значение функции для каждого аргумента: так мы получим координаты точек, а не будем угадывать положение графика. Поскольку формула линейная, её график — прямая. Поэтому после нанесения точек их можно соединить прямой.
Получили таблицу пар: (−1; −3), (0; −1), (1; 1), (2; 3). Координаты каждой точки записаны в порядке «аргумент; значение функции». Ответ: график — прямая, проходящая через отмеченные точки.
Проверим, принадлежит ли точка A(2; 3) графику функции y = x² − 1. В точке A абсцисса равна 2, а ордината равна 3. Чтобы проверить точку, нужно узнать, какое значение формула задаёт при x = 2, и сравнить его с ординатой.
Абсцисса 2 допустима, и функция при ней принимает значение 3. Ответ: точка A(2; 3) принадлежит графику.
По графику функции определите значение f(−2) и все значения x, для которых f(x) = 1. Здесь нужно выполнить два разных чтения: в первом случае известна абсцисса, во втором — ордината. Не подставляй числа в формулу, если дана задача именно на чтение готового графика.
В первом пункте ответом будет ордината, а во втором — все найденные абсциссы. Численные результаты зависят от самого графика, поэтому их нельзя определить без его изображения. Ответ: f(−2) равна ординате точки графика с абсциссой −2; искомые x — абсциссы пересечений графика с y = 1.
Иногда координаты записывают как (f(x); x), меняя аргумент и значение местами. Это происходит, если забыть, что на горизонтальной оси находится x, а на вертикальной — f(x). Проверь себя: подставь пару в запись точки и убедись, что её первая координата совпадает с аргументом.
Можно решить, что точка (a; b) принадлежит графику, только потому, что a допустимо. Но допустимость говорит лишь о том, что f(a) существует, а не о том, что она равна b. Вычисли f(a) и сравни результат с ординатой; оба условия должны выполниться.
Ещё одна ошибка — подставлять в формулу x, который не входит в область определения. Так могут получить число и принять его за значение функции, хотя выражение для этого аргумента не определено. Перед вычислением проверь ограничения формулы, например исключи значения, при которых знаменатель обращается в ноль.
Несколько построенных точек иногда соединяют произвольной линией. Так делают, потому что точки кажутся достаточными, но промежуточное поведение функции может быть другим. Сверь форму линии с видом функции и её правилами; если этого обоснования нет, не делай вывод о графике между точками.
Для работы с графиком нужно уметь отмечать точки на координатной плоскости и читать их координаты. Это помогает правильно перейти от пары чисел к точке и обратно. Без навыка работы с осями легко перепутать аргумент и значение функции.
Также понадобятся вычисления значений выражений и умение составлять таблицу значений функции. Эти навыки помогают получить координаты точек, которые нужно нанести на плоскость. Таблица упорядочивает вычисления и облегчает проверку результата.
Графики пригодятся при дальнейшем изучении свойств функций и решении уравнений графическим способом. По ним можно сравнивать значения, видеть особенности изменения функции и находить решения как координаты пересечений. Поэтому построение и чтение графиков — основа для следующих тем.
Что называют графиком функции?
График функции — это множество точек (x; f(x)) на координатной плоскости. Здесь x — допустимый аргумент, а f(x) — соответствующее ему значение функции.
Как построить график функции по формуле?
Выбери несколько значений x из области определения и вычисли для каждого f(x). Запиши пары (x; f(x)), отметь их на координатной плоскости и проведи линию, учитывая вид функции и её поведение между точками.
Как понять, принадлежит ли точка графику функции?
Для точки (a; b) сначала проверь, входит ли a в область определения функции. Затем вычисли f(a): точка принадлежит графику, только если результат равен b.
Как по графику найти значение функции?
Найди на горизонтальной оси нужный аргумент x и мысленно проведи через него вертикальную линию до графика. Ордината точки пересечения и есть значение f(x).
Как по графику найти аргументы, при которых функция принимает заданное значение?
Найди пересечения графика с горизонтальной прямой, соответствующей заданному значению y. Абсциссы точек пересечения — искомые аргументы; их может быть несколько, один или ни одного.
§ 26 График функции
