4. График функции

Определения и обозначения

График функции — множество всех точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), где x принадлежит области определения функции. Он позволяет представить зависимость между аргументом и значением функции не только формулой, но и рисунком.

Точка графика — точка (x₀; y₀), для которой x₀ входит в область определения, а y₀ = f(x₀). Проверка этого равенства показывает, действительно ли выбранная точка находится на графике.

Область определения функции — множество допустимых значений аргумента x. Она нужна, чтобы не строить точки там, где формула не имеет смысла, например при делении на ноль или извлечении корня из отрицательного числа.

Нули функции — значения x, при которых f(x) = 0. На графике им соответствуют точки пересечения с осью абсцисс, потому что у таких точек ордината равна нулю.

Как это устроено

Каждой точке графика соответствует пара координат (x; f(x)): первая координата показывает выбранный аргумент, а вторая — результат вычисления функции. Одному значению x функция сопоставляет не более одного значения y, иначе невозможно было бы однозначно определить результат. Поэтому вертикальная прямая может пересекать график функции не более чем в одной точке.

Чтобы построить график по формуле, сначала выбирают несколько удобных значений x из области определения. Для каждого значения вычисляют y = f(x) и записывают результаты в таблицу, например в две строки или два столбца. Затем пары координат наносят на плоскость, проверяя масштаб осей и знаки чисел.

Отдельные точки обычно соединяют плавной линией, потому что формула задаёт значения не только в выбранных местах, но и между ними. Однако это допустимо лишь тогда, когда функция определена на всём рассматриваемом промежутке и её поведение между точками понятно. При разрыве, запрещённом значении x или отдельных кусках области определения линию нужно прервать, а иногда точки вообще оставляют несоединёнными.

Значение функции при заданном x находят по вертикальной проекции точки графика на ось ординат. Область определения получается проекцией графика на ось абсцисс, а множество значений — проекцией на ось ординат. Нули ищут на оси абсцисс; участки выше неё соответствуют положительным значениям функции, а участки ниже — отрицательным.

Уравнение графика связывает координаты каждой его точки: для y = f(x) ордината должна быть равна значению формулы при данной абсциссе. Поэтому принадлежность точки (x₀; y₀) проверяют подстановкой x₀: если f(x₀) = y₀, точка принадлежит графику, а если равенство не выполняется — нет.

Что можно определить по графику функции

Чтобы читать график, сначала уточните масштаб осей и мысленно проведите проекции его точек на Ox и Oy. Интервалы следует записывать с учётом включённых и исключённых концов, а для наибольшего или наименьшего значения проверять, достигается ли оно графиком.

Разбор задач

Задача 1. Построение графика по таблице

Построить график функции y = x² − 4x + 3 по таблице значений и указать его основные точки.

1. Выберем удобные значения x: 0, 1, 2, 3 и 4. Подставляя их в формулу, получаем значения y: 3, 0, −1, 0 и 3.
2. Составим пары точек: (0; 3), (1; 0), (2; −1), (3; 0), (4; 3). Нанесём их на координатную плоскость.
3. Коэффициент при x² положителен, поэтому график имеет вид параболы, направленной ветвями вверх. Точки следует соединить плавной линией, симметричной относительно прямой x = 2.
4. Основные точки: нули (1; 0) и (3; 0), пересечение с осью Oy — (0; 3), вершина — (2; −1).

Ответ: график — парабола с вершиной (2; −1), нулями x = 1 и x = 3; она пересекает ось Oy в точке (0; 3).

Задача 2. Чтение графика

Определить по графику функции область определения, множество значений, нули и промежутки, на которых функция положительна.

1. Сначала находим все значения x, над которыми есть точки графика. Их объединение даёт область определения.
2. Затем смотрим, какие значения y встречаются на графике. Вертикальная проекция на ось Oy даёт множество значений функции.
3. Точки пересечения с осью Ox дают нули функции. Промежутки, где линия расположена выше этой оси, записываем как промежутки положительности.
4. Концы промежутков включаем только тогда, когда соответствующие точки принадлежат графику; точки пересечения с осью Ox в промежутки f(x) > 0 не входят.

Ответ: характеристики считывают через проекции и положение графика относительно оси Ox, внимательно учитывая открытые и закрытые концы.

Задача 3. Проверка принадлежности точки

Проверить, принадлежат ли графику y = (x − 2)² − 1 точки A(2; −1), B(3; 2) и C(0; 3).

1. Для A подставим x = 2: y = (2 − 2)² − 1 = −1. Полученная ордината совпала с указанной, значит, A принадлежит графику.
2. Для B подставим x = 3: y = (3 − 2)² − 1 = 0. Число 0 не равно ординате 2, поэтому B графику не принадлежит.
3. Для C подставим x = 0: y = (0 − 2)² − 1 = 3. Ордината совпала с указанной, значит, C принадлежит графику.

Ответ: точки A и C принадлежат графику, точка B не принадлежит.

Типичные ошибки

Произвольная линия. Иногда графиком считают любую красивую кривую, хотя вертикальная прямая может пересекать её несколько раз. Проверьте рисунок вертикальным тестом: одному x должна соответствовать не более чем одна точка.

Забытая область определения. Ученик строит точки при запрещённых значениях, потому что механически подставляет все числа подряд. Перед таблицей проверьте ограничения формулы и исключите недопустимые x.

Путаница координат. Значение функции ищут по горизонтальной оси, хотя y читается по вертикальной. Сначала найдите заданный x на Ox, затем поднимитесь или опуститесь до графика и только после этого считайте y.

Неправильное соединение точек. Прямые отрезки могут скрыть разрыв или исказить форму графика. Сначала определите вид функции и её область определения, а затем решите, нужна плавная линия, отдельные части или отдельные точки.

Связь с другими темами

Для работы с графиками нужны координатная плоскость, чтение координат точки, а также понятия аргумента и значения функции. Без них трудно правильно переносить пары чисел на рисунок и снимать информацию с осей.

Полезно уметь задавать функцию формулой, таблицей или графиком, вычислять её значение и решать простейшие уравнения. Эти навыки позволяют строить точки и находить нули функции.

Дальше графики понадобятся при изучении преобразований, свойств элементарных функций, уравнений и неравенств. Графический способ помогает быстро увидеть число решений и их расположение.

Что запомнить

• График функции состоит из точек (x; f(x)) при всех x из области определения.
• Каждому допустимому значению x соответствует ровно одна точка графика по вертикали.
• Для построения графика удобно составить таблицу значений.
• Нули функции соответствуют точкам пересечения графика с осью абсцисс.
• Множество значений функции находят по проекции графика на ось ординат.
• При чтении графика необходимо учитывать масштаб координатных осей и область определения.