35. График функции

Определения и обозначения

График функции — множество всех точек координатной плоскости, у которых абсцисса равна аргументу, а ордината — соответствующему значению функции. Абсцисса — это первая координата точки, её откладывают по горизонтальной оси x; ордината — вторая координата, её откладывают по вертикальной оси y. Такое определение помогает представить зависимость между аргументом и значением не только формулой, но и наглядным рисунком.

Точка графика — точка с координатами (x; y), где y равно значению функции при аргументе x. Например, если при x = 2 функция принимает значение 3, соответствующая точка записывается как (2; 3). Это обозначение нужно, чтобы по паре чисел можно было отметить положение точки на координатной плоскости.

Принадлежность точки графику означает, что точка (a; b) лежит на графике функции, если функция определена при x = a и её значение равно b. Иначе говоря, нужно проверить равенство f(a) = b, где f(a) — значение функции при аргументе a. Эта проверка позволяет точно выяснить, подходит ли заданная точка к формуле, а не судить только по её виду.

Как это устроено

Функция связывает аргумент x с единственным соответствующим ему значением y. Каждую такую пару чисел можно записать как (x; y), а на координатной плоскости ей соответствует одна точка: сначала отложить x по горизонтали, затем y по вертикали. Поэтому график собирает в одном изображении все пары аргументов и значений функции. Если известна формула, можно вычислить нужные пары и отметить точки.

Для построения часто составляют таблицу: выбирают несколько значений x, подставляют каждое в формулу и записывают результат в строку y. Каждая колонка таблицы даёт пару (x; y), а значит, одну точку графика. Удобно выбирать числа, с которыми вычисления просты, и проверить арифметику перед нанесением точек. После этого наносят точки с учётом масштаба осей.

Набор точек из таблицы не всегда показывает весь график: таблица обычно содержит лишь несколько выбранных значений, а аргументов может быть гораздо больше. Если функция определена для всех чисел между выбранными аргументами и её значения меняются непрерывно, как у y = x², точки обычно соединяют плавной линией. Если же допустимы только отдельные значения аргумента, между соответствующими точками графика может не быть. Поэтому способ соединения выбирают не по привычке, а по формуле и области определения.

Чтобы проверить точку (a; b), подставляют её абсциссу a в формулу функции и сравнивают результат с ординатой b. Сначала убеждаются, что функция вообще определена при x = a; затем вычисляют f(a). Если f(a) = b, точка лежит на графике, а если значения различаются — не лежит. Одного условия, что число a допустимо, недостаточно: требуется совпадение обеих координат с формулой.

График позволяет читать зависимость в обе стороны. Чтобы найти значение функции при заданном аргументе, на оси x находят этот аргумент, поднимаются или опускаются до графика, а затем считывают ординату. Чтобы найти аргумент, которому соответствует заданное значение, начинают с нужного y на вертикальной оси, идут до графика и считывают x. Если нужная линия пересекает график в нескольких точках, заданному значению соответствуют несколько аргументов.

Как читать и проверять точки графика функции

Сначала найди в таблице, что задано: формула, точка или уже готовый график. Затем выполни действие из третьего столбца, не меняя местами аргумент и значение функции. При чтении рисунка проверь, сколько единиц соответствует одному делению на каждой оси.

Разбор задач

Значение функции и точка графика

Для функции y = 2x − 1 найдите значение при x = 2 и укажите соответствующую точку графика. Нужно получить значение y для заданного аргумента, а затем записать координаты в привычном порядке: сначала x, потом y.

1. В формуле заменяем x числом 2: y = 2 · 2 − 1.
2. Сначала выполняем умножение: 2 · 2 = 4, поэтому y = 4 − 1 = 3.
3. Аргумент равен 2, значение функции равно 3, значит, координаты точки — (2; 3).

Ответ: при x = 2 значение функции равно 3; точка графика — (2; 3). Проверка проста: ордината этой точки совпадает с результатом подстановки в формулу.

Проверка принадлежности точки

Проверьте, лежат ли точки A(1; 1) и B(1; 2) на графике функции y = 2x − 1. У обеих точек одинаковая абсцисса, но разные ординаты, поэтому отдельно сравним каждую ординату со значением функции при x = 1.

1. Для обеих точек подставляем x = 1: y = 2 · 1 − 1 = 1.
2. У точки A ордината равна 1, она совпала с вычисленным значением, значит, A лежит на графике.
3. У точки B ордината равна 2, а функция при x = 1 равна 1, поэтому B не лежит на графике.

Ответ: точка A(1; 1) принадлежит графику, а точка B(1; 2) — нет. Сравнивать нужно именно вычисленное значение с ординатой точки, а не только проверять допустимость абсциссы.

Построение и чтение графика

Постройте график y = x² по таблице для x = −2, −1, 0, 1, 2, затем найдите по графику значения при x = −1,5 и аргументы, при которых y = 1. Здесь важно сначала получить точки для построения, а затем использовать форму графика и деления осей для чтения. Расчёт по формуле поможет проверить результат, считанный с рисунка.

1. Вычисляем y = x² для каждого аргумента: при −2 получаем 4, при −1 — 1, при 0 — 0, при 1 — 1, при 2 — 4.
2. Получаем точки (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4). Отмечаем их на координатной плоскости и плавно проводим через них график функции y = x².
3. Для x = −1,5 находим на горизонтальной оси это число и смотрим ординату точки графика. По графику значение примерно равно 2,25; оно согласуется с вычислением (−1,5)² = 2,25.
4. Чтобы найти аргументы при y = 1, проводим горизонтальный уровень от отметки 1 на вертикальной оси. Он пересекает график при x = −1 и x = 1.

Ответ: при x = −1,5 значение функции равно примерно 2,25; при y = 1 аргументы равны −1 и 1. При чтении графика точность зависит от масштаба, поэтому, если деления не позволяют считать число точно, результат указывают приближённо.

Типичные ошибки

Путают абсциссу и ординату. В записи (x; y) аргумент x стоит первым и откладывается по горизонтальной оси, а значение функции y — вторым и откладывается по вертикальной. Ошибку допускают, когда переносят числа из таблицы на оси в неверном порядке. Перед нанесением точки проверь: первое число относится к оси x, второе — к оси y.

Считают, что допустимого аргумента достаточно для принадлежности точки. Число a может входить в область определения, но точка (a; b) всё равно не лежит на графике, если f(a) не равно b. Путают эти условия, потому что проверяют только возможность подстановки. Для самопроверки вычисли f(a) и сравни результат именно с ординатой b.

Соединяют точки таблицы без учёта функции. Между точками могут быть значения аргумента, для которых функция не определена, или график может вести себя иначе, чем предполагает прямой отрезок. Часто точки соединяют автоматически, потому что привыкли видеть на рисунке сплошную линию. Перед соединением выясни, какие аргументы допустимы и как меняется функция между выбранными точками.

Принимают деления осей за единицы без проверки масштаба. На графике одно деление может обозначать не единицу, а, например, два или половину. Ошибка возникает, если считывать положение точки, не посмотрев на подписи и расстояние между отмеченными числами. Для проверки сравни две подписанные отметки и определи, сколько единиц приходится на промежуток между ними.

Связь с другими темами

Для работы с графиком нужны навыки, полученные раньше: отмечать точки на координатной плоскости, различать её оси и подставлять числа в формулу. Таблица значений связывает вычисления по формуле с точками графика: каждая пара из таблицы задаёт координаты одной точки. Позже этот способ пригодится при изучении линейной функции, решении уравнений и исследовании зависимостей. График позволяет увидеть закономерность, которую не всегда легко заметить только по отдельным вычислениям.

Что запомнить

• У точки графика абсцисса — аргумент, ордината — значение функции.
• Точка (a; b) лежит на графике тогда и только тогда, когда f(a) = b.
• Для построения графика удобно сначала составить таблицу значений.
• Каждой допустимой абсциссе соответствует ровно одно значение функции.
• По графику можно находить значения функции и аргументы.
• При построении нужно учитывать масштаб и область определения.

Как это устроено