36. Графическое представление статистических данных

Определения и обозначения

Статистические данные — результаты наблюдений или измерений, собранные для изучения какого-либо явления. Например, можно записать число книг, прочитанных учениками за месяц, или оценки за контрольную работу. Такие записи помогают не полагаться на впечатления, а делать выводы по всем собранным результатам.

Частота значения — число раз, которое это значение встречается в наборе данных. Если оценка 4 записана в списке пять раз, её частота равна пяти, а не четырём. Частоту находят, чтобы понять, какие результаты встречались чаще и реже.

Таблица частот — таблица, в которой указаны различные значения признака и соответствующие им частоты. Признак — это то, что наблюдают или измеряют, например число прочитанных книг. Таблица заменяет длинный список короткой записью и помогает не путать значения с количеством их повторений.

Столбчатая диаграмма — изображение данных с помощью столбцов, высоты которых соответствуют частотам. Каждому значению признака соответствует свой столбец, поэтому их высоты можно сравнивать. Диаграмма нужна, когда распределение данных удобнее рассматривать зрительно, а не искать в таблице.

Как это устроено

Сначала собирают результаты наблюдений, а затем упорядочивают их: отмечают, какие значения встретились, и считают повторения каждого. Такой порядок нужен потому, что в исходном списке одинаковые результаты часто стоят в разных местах. Если не объединить их и не пересчитать, легко пропустить повтор или посчитать его дважды.

Полученные количества называют частотами. Их сумма должна совпадать с общим числом наблюдений: каждое наблюдение относится ровно к одному значению признака. Эта проверка помогает обнаружить ошибку в подсчёте или пропущенное значение до того, как данные попадут в таблицу или диаграмму.

Длинный перечень результатов удобно заменить таблицей частот. В одной её части записывают разные значения признака, а рядом — сколько раз каждое появилось. Благодаря этому можно быстро отыскать нужное значение и сравнить частоты, не просматривая заново весь список.

Чтобы изобразить таблицу на столбчатой диаграмме, значения признака откладывают по горизонтали, а частоты — по вертикали. На вертикальной оси выбирают равномерные деления, а затем над каждым значением строят столбец до уровня его частоты. Оси подписывают, чтобы читатель понимал, что именно показывают числа и столбцы.

Графическое изображение делает различия между частотами заметными сразу. Самый высокий столбец указывает на наиболее распространённое значение, а самый низкий — на наименее распространённое среди показанных. При этом диаграмма не заменяет исходные наблюдения: сначала их нужно правильно собрать и подсчитать.

Способы представления статистических данных

Список сохраняет результаты в исходном виде, а таблица показывает, сколько раз встретилось каждое значение. Диаграмму удобно использовать для сравнения: достаточно посмотреть на высоты столбцов. Для надёжной проверки можно сопоставить таблицу со списком и убедиться, что сумма частот равна числу записей.

Разбор задач

Найти частоту оценки

В списке оценок за контрольную работу найдите, сколько раз встречается оценка 4: 5, 4, 3, 4, 5, 4, 3, 4. Нужно отличать саму оценку от её частоты: нас спрашивают не значение, а количество его повторений. Поэтому будем отмечать только четвёрки и не учитывать остальные числа.

1. Просматриваем записи слева направо и отмечаем каждую оценку 4.
2. В списке четвёрки стоят на втором, четвёртом, шестом и восьмом местах.
3. Считаем отмеченные места: их четыре, значит, столько раз встретилась оценка.

Ответ: частота оценки 4 равна 4. Проверка простая: в исходном списке действительно можно указать четыре четвёрки. Оценки 3 и 5 при ответе не учитываем, потому что вопрос задан только об оценке 4.

Составить таблицу частот

Для данных о числе книг, прочитанных учениками за месяц, составьте таблицу частот и проверьте её по общему числу учеников. В условии не приведён сам список наблюдений, поэтому покажем порядок решения на данных диаграммы из этой темы: частоты значений 0, 1, 2, 3, 4 равны 2, 5, 7, 4, 2. При работе с другим списком действия будут такими же.

1. Записываем различные значения числа книг по возрастанию: 0, 1, 2, 3, 4.
2. Для каждого значения указываем его частоту: соответственно 2, 5, 7, 4, 2 ученика.
3. Складываем частоты: 2 + 5 + 7 + 4 + 2 = 20.
4. Сравниваем сумму с числом наблюдений: в этом примере всего 20 учеников.

Ответ: таблица содержит пары значений и частот (0; 2), (1; 5), (2; 7), (3; 4), (4; 2), сумма частот равна 20. Значит, она согласуется с общим числом учеников. Если сумма не совпала бы, пришлось бы перепроверить подсчёты и список значений.

Построить и прочитать диаграмму

По таблице частот числа попаданий в цель постройте столбчатую диаграмму и определите, какое число попаданий встречалось чаще всего. В условии конкретная таблица не дана, поэтому ход построения разберём на значениях из таблицы выше. Этот пример показывает те же действия: по каждой частоте строят отдельный столбец и сравнивают столбцы по высоте.

1. Подписываем горизонтальную ось «Число книг», а вертикальную — «Число учеников».
2. На горизонтальной оси отмечаем 0, 1, 2, 3 и 4, а на вертикальной выбираем равномерную шкалу до 7.
3. Строим столбцы одинаковой ширины высотой 2, 5, 7, 4 и 2 деления соответственно.
4. Сравниваем столбцы: самый высокий соответствует значению 2.

Ответ: в этом примере чаще всего встречалось значение 2, его частота равна 7. Если дана другая таблица попаданий, вместо числа книг по горизонтали отмечают число попаданий, а высоты столбцов берут из её частот. Наибольшая высота и в таком случае укажет на наиболее частый результат.

Типичные ошибки

Ошибка: считать частотой само значение признака. Например, для значения 4 записывают частоту 4, хотя оно могло встретиться совсем другое число раз. Так происходит из-за похожих слов в условии; проверьте себя вопросом «сколько раз?», ведь частота всегда является количеством повторений.

Ошибка: пропускать значения при составлении таблицы частот. Тогда часть наблюдений не попадёт в подсчёт, и сумма частот может оказаться меньше общего числа записей. Перечислите все разные значения из исходного списка и сложите частоты, сравнив сумму с числом наблюдений.

Ошибка: откладывать частоты по горизонтали, а значения признака по вертикали, не объясняя такой выбор. Из-за привычки записывать числа по-разному можно перепутать, что означает каждая ось. Подпишите обе оси и проверьте, что по горизонтали расположены значения, а по вертикали — их частоты.

Ошибка: строить столбцы разной ширины или оставлять между ними произвольные промежутки. Тогда диаграмму трудно читать и сравнивать, даже если высоты выбраны верно. Используйте столбцы одинаковой ширины и одинаковые промежутки между ними, а деления на оси располагайте равномерно.

Связь с другими темами

Для чтения столбчатой диаграммы нужно уметь считать и сравнивать натуральные числа: это помогает находить частоты и определять, какая из них больше. Также важно читать координатные оси — понимать, где указаны значения признака, а где их количества. Эти умения пригодятся при обработке результатов наблюдений в разных учебных предметах и в повседневных исследованиях.

Таблицы и диаграммы подготавливают данные к дальнейшему изучению статистических характеристик. Сначала результаты собирают и упорядочивают, затем сравнивают их распределение и переходят к другим способам описания набора данных. Поэтому аккуратный подсчёт частот помогает не только построить график, но и сделать верные выводы о наблюдениях.

Что запомнить

• Частота показывает, сколько раз значение встретилось в данных.
• Сумма всех частот равна числу наблюдений.
• Таблица частот упорядочивает результаты наблюдений.
• На столбчатой диаграмме высота столбца соответствует частоте.
• Оси диаграммы нужно подписывать, а деления выбирать равномерно.
• По диаграмме можно сравнить частоты разных значений.