"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Линейная функция — зависимость, которую задаёт формула y = kx + b. Она помогает описывать ситуации, где при равных изменениях одной величины другая меняется на одну и ту же величину. Её график всегда прямая, поэтому для построения достаточно найти две точки. Коэффициент k показывает направление и скорость изменения функции, а свободный член b — значение функции при x = 0 и место пересечения графика с осью y.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейная функция — функция вида y = kx + b, где x — независимая переменная, а k и b — числа. Иначе говоря, значение y получают, умножив x на одно и то же число k и прибавив число b. Такая запись помогает узнать, как меняется одна величина в зависимости от другой.
Коэффициент k — число, стоящее при x; он определяет, возрастает или убывает функция и насколько быстро меняется y. Если x увеличить на 1, то y изменится на k. По знаку и значению k можно судить о наклоне графика, не подставляя множество чисел.
Свободный член b — слагаемое без x, которое равно значению функции при x = 0. Действительно, при подстановке нуля произведение kx становится нулём, и остаётся y = b. Это число помогает сразу определить точку пересечения графика с вертикальной осью.
График линейной функции — прямая, состоящая из точек с координатами (x; kx + b). Каждой точке соответствует значение x и полученное по формуле значение y. Зная это, можно построить график по нескольким вычисленным точкам, а для прямой достаточно двух.
Почему формула y = kx + b задаёт линейную функцию? Пусть x увеличился на какое-то число, например на 3. Тогда слагаемое kx увеличится на 3k, а число b останется прежним. Поэтому y изменится ровно на 3k независимо от начального значения x. При равных изменениях x изменения y тоже равны — именно эту постоянность отражает слово «линейная».
Почему график получается прямой? Возьмём любые два разных значения x и найдём соответствующие им значения y. Через полученные две точки можно провести только одну прямую. Для любого другого значения x формула даёт точку на этой же прямой: изменение y связано с изменением x одним и тем же коэффициентом k. Поэтому при построении достаточно двух точек, хотя третью можно вычислить для проверки.
Коэффициент k задаёт, в какую сторону направлена прямая. Если x увеличивается, то при k > 0 произведение kx тоже увеличивается, значит, растёт и y. При k < 0 произведение становится меньше, поэтому функция убывает. Если k = 0, слагаемое kx всегда равно нулю, значение y не меняется, а график имеет вид горизонтальной прямой.
Свободный член b сдвигает прямую по вертикали. При x = 0 формула превращается в y = b, значит, точка пересечения с осью y имеет координаты (0; b). Если b положительное, точка находится выше начала координат, если отрицательное — ниже. Так можно отметить на графике одну точку ещё до вычислений для других x.
Что происходит с графиками, если коэффициент k один и тот же? Изменение y при каждом изменении x у таких функций одинаковое, поэтому прямые имеют одинаковый наклон. Если свободные члены различны, точки пересечения с осью y разные, и прямые не пересекаются — они параллельны. Если b тоже одинаковое, формулы совпадают, а значит, совпадают и графики.
| Свойство | k > 0 | k < 0 | k = 0 |
|---|---|---|---|
| Вид функции | y = kx + b | y = kx + b | y = b |
| Поведение функции при увеличении x | Возрастает | Убывает | Не изменяется |
| Вид графика | Наклонная прямая, направленная вверх слева направо | Наклонная прямая, направленная вниз слева направо | Горизонтальная прямая |
| Точка пересечения графика с осью y | (0; b) | (0; b) | (0; b) |
Сначала определи знак k, чтобы понять поведение функции и направление прямой. Затем найди b: оно задаёт точку пересечения с осью y во всех трёх случаях. При k = 0 формула упрощается до y = b, поэтому график горизонтален.
Сравним формулу с общим видом y = kx + b. Чтобы определить коэффициенты, выделим слагаемое с x и слагаемое без x. Знак минус перед числом 4 относится к самому свободному члену.
Ответ: функция линейная; k = 3, b = −4.
Для прямой нужны две точки с разными значениями x. Удобно выбрать небольшие числа, чтобы вычисления были простыми. Подставим выбранные x в формулу и получим координаты точек графика.
Ответ: график — прямая через точки (0; 1) и (1; −1).
Искомая формула имеет вид y = kx + b, но коэффициенты пока неизвестны. Первая точка особенно удобна: её абсцисса равна нулю, поэтому сразу можно узнать b. Затем используем координаты второй точки, чтобы найти k.
Ответ: y = 2x + 3.
В функции y = −3x + 2 иногда записывают k = 3, теряя знак минус. Это происходит, если замечают только число при x и не учитывают знак слагаемого целиком. Проверь себя: произведение −3x при x = 1 равно −3, следовательно, коэффициент именно −3.
Другая ошибка — путать k и b: k стоит при x, а b записан без переменной. Путаница возникает, когда коэффициенты называют просто числами и не связывают их с местом в формуле. Для проверки подставь x = 0: значение y должно совпасть с b, а не с k.
Для построения прямой иногда находят только одну точку и пытаются провести через неё график. Но через одну точку можно провести множество прямых, поэтому график не будет определён однозначно. Найди ещё одну точку с другим x и проверь, что обе точки удовлетворяют формуле.
При k = 0 некоторые считают, что графика нет, потому что слагаемое с x исчезает. На самом деле остаётся функция y = b, и при любом x значение y равно b. Чтобы проверить себя, подставь несколько значений x: все точки окажутся на одной горизонтальной прямой.
Чтобы работать с линейной функцией, нужно уметь подставлять числа в буквенные выражения и выполнять вычисления с отрицательными числами. Также понадобится координатная плоскость: важно правильно отмечать точки по их координатам (x; y). Позже понимание функций и их графиков пригодится при изучении систем уравнений и других видов функций. Например, графический способ помогает увидеть, где графики пересекаются.
Как отличить линейную функцию от другой функции?
Проверь, можно ли записать формулу в виде y = kx + b, где k и b — числа. Переменная x должна быть только в первом степенном выражении kx, а рядом может стоять свободный член b.
Почему график линейной функции всегда прямая?
При равных изменениях x значение y меняется на равные величины, поэтому точки функции располагаются на одной прямой. Ещё график можно задать двумя точками: через любые две разные точки проходит единственная прямая.
Как понять по формуле, возрастает функция или убывает?
Посмотри на знак коэффициента k при x. Если k > 0, функция возрастает; если k < 0 — убывает; при k = 0 значение функции не меняется.
Что показывают коэффициенты k и b?
Коэффициент k определяет направление изменения функции и то, насколько быстро меняется y при изменении x. Свободный член b равен значению y при x = 0, поэтому график пересекает ось y в точке (0; b).
Сколько точек нужно найти, чтобы построить график?
Достаточно найти две точки с разными значениями x. Подставь выбранные значения x в формулу, отметь точки на координатной плоскости и проведи через них прямую.
§ 15. Линейная функция
