§ 4. Линейная функция

Определения и обозначения

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где k и b — числа. Такая запись задаёт правило: выбери значение x, умножь его на k и прибавь b — получишь соответствующее значение y. Например, при k = 2 и b = 1 числу x = 3 соответствует y = 7. Формула позволяет описывать постоянную закономерность между двумя величинами.

Угловой коэффициент k — это коэффициент при x в формуле y = kx + b. Он показывает, насколько изменится y, если x увеличить на единицу: изменение y будет равно k. Поэтому знак k помогает понять направление изменения функции, а величина коэффициента связана с наклоном прямой. Зная k, можно сравнивать поведение разных линейных функций.

Свободный член b — значение функции при x = 0, потому что подстановка нуля даёт y = k · 0 + b = b. Значит, график пересекает ось ординат в точке с координатами (0; b). Само число b — это ордината точки пересечения, а не точка целиком. По b удобно находить, где прямая расположена относительно начала координат.

График линейной функции — прямая, состоящая из точек с координатами (x; kx + b). Каждая такая точка соответствует паре значений, связанных формулой. График помогает увидеть зависимость целиком и находить значения функции или аргумента по координатной плоскости. Для его построения не требуется отмечать все точки: достаточно определить две различные.

Как это устроено

Чтобы понять, почему график y = kx + b является прямой, сравним значения функции при x и x + Δx. Их разность равна k(x + Δx) + b − (kx + b) = kΔx. Значит, одинаковое изменение аргумента всегда вызывает одинаковое изменение функции, независимо от начального x. Именно эта постоянная скорость изменения задаёт прямую, а b лишь сдвигает её вверх или вниз.

Для построения графика выберите два удобных значения x и вычислите соответствующие y. Например, можно взять x = 0: это сразу даёт точку пересечения с осью y, а второе значение выбрать так, чтобы вычисления были простыми. Отметьте полученные точки на координатной плоскости и проведите через них прямую. Две различные точки однозначно задают прямую, поэтому остальные её точки уже определены.

Направление графика слева направо зависит от знака k. Если k положителен, то при увеличении x значение y увеличивается на k за каждый шаг в одну единицу, поэтому функция возрастает. Если k отрицателен, y уменьшается и функция убывает. При k = 0 изменение y всегда равно нулю, формула превращается в y = b, и график становится горизонтальной прямой.

Коэффициенты k и b влияют на график по-разному. Значение b задаёт точку (0; b), поэтому его изменение переносит прямую вверх или вниз, не меняя наклон. Изменение k меняет наклон: при одном и том же b прямые проходят через общую точку (0; b), но иначе направлены. Если b = 0, при x = 0 получаем y = 0, поэтому прямая проходит через начало координат.

Нуль функции — значение x, при котором y равен нулю. Чтобы его найти, решают уравнение kx + b = 0: при k ≠ 0 получается x = −b/k, а график пересекает ось x в точке (−b/k; 0). Если k = 0, делить на k нельзя: остаётся уравнение b = 0. При b ≠ 0 решений нет, а при b = 0 подходят все значения x.

Коэффициенты и свойства линейной функции y = kx + b

Сначала найдите условие, которое относится к задаче, а затем используйте соответствующую строку таблицы. Обратите внимание: формула нуля x = −b/k применима только при k ≠ 0. Для постоянной функции отдельно проверьте, равно ли b нулю.

Разбор задач

Построить график функции y = 2x − 1.

Нужно получить две точки графика, поэтому выберем значения x, для которых легко вычислить y. При x = 0 сразу найдём пересечение с осью y. Затем возьмём x = 1 и вычислим вторую координату.

1. При x = 0: y = 2 · 0 − 1 = −1. Получаем точку (0; −1).
2. При x = 1: y = 2 · 1 − 1 = 1. Получаем точку (1; 1).
3. Отметим обе точки и проведём через них прямую. Коэффициент k = 2 положителен, поэтому прямая поднимается слева направо.

Ответ: график — прямая через точки (0; −1) и (1; 1).

Определить, возрастает или убывает функция y = −3x + 4, и найти точки пересечения её графика с координатными осями.

Сначала посмотрим на коэффициент при x: его знак определяет поведение функции. Точку пересечения с осью y найдём подстановкой x = 0. Для пересечения с осью x, наоборот, положим y = 0 и решим полученное уравнение.

1. Здесь k = −3 < 0, поэтому функция убывает.
2. При x = 0 получаем y = −3 · 0 + 4 = 4. Пересечение с осью y — точка (0; 4).
3. Для оси x решаем −3x + 4 = 0. Тогда −3x = −4 и x = 4/3, поэтому точка пересечения — (4/3; 0).

Ответ: функция убывает; точки пересечения с осями — (0; 4) и (4/3; 0).

Найти формулу линейной функции, график которой проходит через точки (−1; 5) и (2; −1), а затем определить её нуль.

Искомая формула имеет вид y = kx + b, но оба коэффициента неизвестны. Подстановка координат каждой точки даст равенство, а вместе они образуют систему для k и b. После этого подставим найденные коэффициенты в уравнение y = 0.

1. Для точки (−1; 5): 5 = −k + b. Для точки (2; −1): −1 = 2k + b.
2. Вычтем первое равенство из второго: −6 = 3k, поэтому k = −2.
3. Подставим k = −2 в 5 = −k + b: получим 5 = 2 + b, значит, b = 3. Формула функции: y = −2x + 3.
4. Найдём нуль: −2x + 3 = 0, откуда x = 3/2.

Ответ: y = −2x + 3; нуль функции равен 3/2.

Типичные ошибки

Иногда b называют точкой пересечения с осью y. Но b — только ордината, то есть второе число в координатах точки; первое на оси y всегда равно нулю. Ошибка возникает из-за того, что значение b сразу показывает место пересечения. Проверка проста: запишите точку полностью — (0; b).

Ещё одна ошибка — определять возрастание и убывание по знаку b. Свободный член задаёт положение прямой по вертикали, но не направление её наклона; за наклон отвечает k. Такое смешение появляется, когда оба числа воспринимают как одинаково важные для поведения графика. Для проверки сравните значения функции при увеличении x: их изменение определяется k.

Одной точки недостаточно, чтобы построить прямую однозначно. Через выбранную точку можно провести много прямых с разными наклонами, поэтому график по ней определить нельзя. Ошибку допускают, когда считают, что точка пересечения с осью y уже задаёт весь график. Найдите ещё одну точку с другим значением x и проверьте, что она отличается от первой.

При поиске нуля нельзя делить на k, не проверив, что k ≠ 0. Если k = 0, функция постоянна: при b ≠ 0 нулей нет, а при b = 0 она равна нулю при любом x. Деление на ноль не определено, поэтому обычный ответ x = −b/k здесь неприменим. Перед делением отдельно рассмотрите случай k = 0.

Связь с другими темами

Для работы с линейной функцией нужны навыки подстановки чисел в выражения, решения линейных уравнений и отметки точек на координатной плоскости. Пересечение графиков двух линейных функций связано с системами линейных уравнений: координаты общей точки удовлетворяют обоим уравнениям системы. Поэтому графический способ решения системы опирается на построение прямых. Эти знания пригодятся и при изучении линейных моделей, кусочно заданных функций и преобразований более сложных графиков.

Что запомнить

• Линейная функция имеет вид y = kx + b.
• Её график — прямая.
• Коэффициент k определяет наклон и поведение функции.
• Коэффициент b равен значению функции при x = 0.
• При k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает.
• При k = 0 функция постоянна.
• При k ≠ 0 нуль функции равен −b/k.