"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Линейная функция связывает два числа формулой y = kx + b: задаёшь значение x — и по формуле находишь y. Её график всегда прямая, поэтому зависимость удобно изображать и сравнивать. Коэффициент k показывает, возрастает функция или убывает и насколько круто идёт прямая, а число b указывает, где она пересекает ось y. Чтобы построить график, достаточно найти две точки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейная функция — функция, задаваемая формулой y = kx + b, где k и b — числа, а x — независимая переменная. Функция указывает, какое значение y соответствует каждому выбранному x. Такая запись помогает описать зависимость одной величины от другой и предсказать её значение.
Коэффициент k — число, стоящее при x в формуле y = kx + b. Он влияет на наклон прямой и на то, в каком направлении она идёт слева направо. По знаку k можно понять, возрастает функция или убывает.
Число b — свободный член формулы, то есть слагаемое, которое не умножается на x. Оно показывает значение функции при x = 0 и задаёт точку пересечения графика с осью y. Поэтому b помогает сразу определить, где начинать строить прямую на координатной плоскости.
График линейной функции — прямая, состоящая из точек с координатами (x; kx + b). В каждой такой точке первая координата равна выбранному x, а вторая — значению функции. График позволяет увидеть зависимость и находить значения функции по координатной плоскости.
Чтобы вычислить значение функции, вместо x в формуле подставляют заданное число, а затем выполняют действия. Например, если y = 3x − 2 и x = 4, сначала умножают 3 на 4, затем вычитают 2. Так получают y = 10, то есть при аргументе 4 функция принимает значение 10.
График получается прямой, потому что при равных изменениях x значение y меняется одинаково. Если увеличить x на 1, выражение kx увеличится на k, а b останется прежним. Поэтому для каждого следующего шага по горизонтали происходит одинаковый шаг по вертикали, и точки не изгибаются, а лежат на одной прямой.
Направление прямой зависит от знака k, потому что именно k задаёт изменение y при изменении x. При k > 0 каждому увеличению x соответствует увеличение y, значит, график поднимается слева направо. При k < 0 значение y уменьшается, и график опускается. Чем больше модуль числа k, тем сильнее меняется y при том же шаге по x, поэтому прямая становится круче; если k = 0, изменения y нет и график горизонтален.
Коэффициент b отвечает за положение прямой по вертикали. Если x = 0, слагаемое kx становится нулём, и остаётся y = b. Значит, точка (0; b) обязательно принадлежит графику и лежит на оси y. Например, при b = 1 прямая пересечёт эту ось на уровне 1.
Для построения графика выбирают два разных значения x и вычисляют соответствующие значения y. Полученные пары чисел записывают как координаты точек и отмечают на плоскости. Через две разные точки можно провести единственную прямую, поэтому их достаточно, чтобы построить весь график. Точки стоит выбирать так, чтобы вычисления были простыми.
Сравнивай сначала k: он отвечает за направление прямой, а при k = 0 график становится горизонтальным. Затем смотри на b, чтобы определить точку пересечения с осью y. В строке b = 0 указано особое положение: прямая проходит через начало координат.
| Случай | Вид графика | Поведение функции | Пересечение с осью y |
|---|---|---|---|
| k > 0 | Прямая поднимается слева направо | Функция возрастает | (0; b) |
| k < 0 | Прямая опускается слева направо | Функция убывает | (0; b) |
| k = 0 | Горизонтальная прямая | Функция постоянна: y = b | (0; b) |
| b = 0 | Прямая проходит через начало координат | Зависит от знака k | (0; 0) |
Нужно найти значение y, соответствующее аргументу 4. Для этого подставим 4 вместо x и выполним действия в правильном порядке. Число 3 умножается на аргумент, а затем из результата вычитается 2.
Ответ: при x = 4 значение функции равно 10.
Для построения нужны две точки, поэтому выберем удобные значения x. Например, при x = 0 сразу получаем значение b, а при x = 1 вычисление тоже будет простым. После нахождения координат отметим точки и проведём через них прямую.
Ответ: график — прямая через точки (0; 1) и (1; 3). Так как k = 2 > 0, прямая поднимается слева направо.
Ищем формулу вида y = kx + b. Первая точка особенно удобна: при x = 0 значение y совпадает с b, поэтому сразу узнаём свободный член. Затем сравним, насколько изменились координаты x и y между двумя точками, чтобы найти k.
Ответ: формула функции — y = 2x − 2. Проверка: при x = 3 получаем y = 6 − 2 = 4, как и указано в условии.
Первая ошибка — перепутать k и b: считать, что b отвечает за наклон, а k — за пересечение с осью y. Такое случается, если не смотреть, какое число стоит при x, а какое записано отдельно. Проверь себя по подстановке x = 0: результат обязан быть b, а наклон связывают с изменением y при изменении x.
Вторая ошибка — строить прямую только по одной точке. Через одну точку можно провести сколько угодно прямых, поэтому она не определяет график однозначно. Найди значения функции хотя бы для двух разных x, а после построения проверь, что обе точки лежат на проведённой прямой.
Третья ошибка — определять возрастание или убывание по знаку b. Число b лишь задаёт высоту пересечения с осью y, а направление зависит от k. Чтобы проверить вывод, сравни значения функции при увеличении x: при положительном k они растут, при отрицательном — уменьшаются.
Четвёртая ошибка — потерять знак при подстановке отрицательного x или нарушить порядок действий. Например, значение −2 в выражении 3x нужно подставлять как 3 · (−2), а не убирать минус. Запиши подстановку в скобках, сначала выполни умножение и только потом сложение или вычитание; затем проверь знак результата.
Для работы с линейной функцией нужно уметь подставлять числа в выражения, выполнять действия с положительными и отрицательными числами и отмечать точки на координатной плоскости. Эти навыки помогают правильно вычислять значения и строить график. Линейная функция пригодится при решении уравнений и систем уравнений, а также при описании прямой пропорциональности и зависимостей в задачах.
Почему график линейной функции всегда является прямой?
При одинаковом изменении x значение y каждый раз изменяется на одинаковую величину: на изменение x, умноженное на k. Поэтому точки графика располагаются на одной прямой.
Как понять по формуле, возрастает функция или убывает?
Посмотри на знак коэффициента k при x. Если k > 0, функция возрастает, а если k < 0 — убывает.
Что показывает коэффициент b?
Число b — это значение функции при x = 0. Поэтому график пересекает ось y в точке (0; b).
Сколько точек нужно найти, чтобы построить график?
Достаточно двух точек с разными значениями x. Через них проводят прямую, потому что график линейной функции — прямая.
Может ли линейная функция быть постоянной?
Да. Если k = 0, формула принимает вид y = b, и какое бы значение x ни подставили, результат не изменится. График такой функции — горизонтальная прямая.
§ 2. Линейная функция
