§ 1. Прямая пропорциональность

Определения и обозначения

Прямая пропорциональность — зависимость, задаваемая формулой y = kx, где k — одно и то же число для всех соответствующих значений x и y. Буква x обозначает аргумент — число, которое выбирают, а y — связанное с ним значение. Такая формула нужна, когда одна величина меняется вместе с другой в постоянном отношении.

Коэффициент пропорциональности k — число, показывающее, во сколько раз y отличается от x; его знак определяет направление изменения y при увеличении x. Например, при k = 3 значение y втрое больше x, а при k = −3 оно втрое больше по модулю и имеет противоположный знак. Коэффициент помогает составить формулу по известной паре значений и понять характер зависимости.

График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат, то есть точку (0; 0). Её наклон зависит от коэффициента k: чем больше модуль коэффициента, тем круче прямая. По графику можно увидеть, как связаны x и y, и определить значение одной величины по другой.

Как это устроено

Если y = kx, то при любом ненулевом x можно разделить обе части равенства на x и получить y/x = k. Поэтому отношение y к x остаётся одним и тем же для всех пар значений; именно это постоянство и выражает пропорциональную связь. При x = 0 делить на x нельзя, но исходная формула по-прежнему даёт y = 0.

Чтобы найти k по известной паре значений, подставь их в равенство y = kx и вырази неизвестное: k = y/x, если x не равен нулю. Например, при x = 5 и y = −15 получаем k = −15/5 = −3. Подставив найденное число в исходный вид, записываем формулу y = −3x; проверка подстановкой исходной пары подтверждает результат.

График проходит через начало координат потому, что при x = 0 произведение kx равно нулю. Следовательно, точка с координатами (0; 0) удовлетворяет формуле и обязательно принадлежит графику. А поскольку выражение y = kx задаёт линейную зависимость, все её точки лежат на одной прямой.

Знак k влияет сразу и на направление прямой, и на поведение значений y. При положительном k увеличение x ведёт к увеличению y; точки графика, кроме начала координат, находятся в I и III четвертях. При отрицательном k знаки x и y противоположны, прямая проходит через II и IV четверти, а при увеличении x значение y уменьшается.

Для построения составь таблицу значений: выбери несколько x, вычисли соответствующие y и запиши пары координат. Отметь эти точки на координатной плоскости, обязательно включив (0; 0), затем проведи через них прямую. Если точки не выстраиваются на одной прямой через начало координат, проверь вычисления или убедись, что использована именно формула y = kx.

Свойства прямой пропорциональности y = kx

Сначала посмотри на знак k: по нему можно определить, возрастает или убывает зависимость и в каких четвертях расположена прямая. Затем сравни модуль коэффициента, чтобы понять, какая из прямых наклонена круче. В обоих случаях график проходит через начало координат.

Разбор задач

Задача 1. Зависимость задана формулой y = 4x. Найдите y при x = 3 и x = −2. Нужно вычислить значение произведения 4x для каждого аргумента отдельно; во втором случае особенно важно сохранить знак отрицательного числа.

1. При x = 3 подставляем число в формулу: y = 4 · 3 = 12.
2. При x = −2 подстановка даёт y = 4 · (−2) = −8.
3. Проверяем знаки: коэффициент положительный, поэтому y имеет тот же знак, что и x.

Ответ: при x = 3 значение y = 12; при x = −2 значение y = −8.

Задача 2. При прямой пропорциональности x = 5 соответствует y = −15. Найдите коэффициент пропорциональности и запишите формулу. Поскольку зависимость имеет вид y = kx, для определения k нужно разделить y на ненулевое x, а не наоборот.

1. Записываем известные значения: x = 5, y = −15.
2. Находим коэффициент: k = y/x = −15/5 = −3.
3. Подставляем коэффициент в общую формулу: y = −3x.
4. Проверяем: при x = 5 получаем y = −3 · 5 = −15, как и дано в условии.

Ответ: k = −3; формула зависимости — y = −3x.

Задача 3. Постройте график зависимости y = −2x и определите по графику значение y при x = 1,5. Чтобы построить прямую, достаточно начала координат и ещё одной точки, но дополнительные точки помогут проверить построение. Выберем такие значения x, для которых вычисления просты.

1. Составляем таблицу: при x = 0 получаем y = 0; при x = 1 получаем y = −2; при x = −1 получаем y = 2.
2. Отмечаем точки (0; 0), (1; −2) и (−1; 2) и проводим через них прямую. Точки лежат на одной прямой, проходящей через начало координат.
3. На графике от x = 1,5 поднимаемся или опускаемся до прямой и считываем соответствующую координату y. По формуле это также можно проверить: y = −2 · 1,5 = −3.

Ответ: при x = 1,5 значение y = −3.

Типичные ошибки

Ошибка — считать прямой пропорциональностью любую линейную зависимость, например y = 2x + 1. Её допускают, потому что в формуле есть x, а график всё равно является прямой. Проверь, есть ли отдельное слагаемое: для прямой пропорциональности формула должна быть именно y = kx, а график — проходить через (0; 0).

Иногда коэффициент находят как x/y, хотя из y = kx следует k = y/x при x ≠ 0. Путаница возникает из-за перестановки чисел в отношении. Проверь себя обратным действием: умножение найденного k на x должно дать исходное y.

Если построить прямую мимо начала координат, условие y = kx не будет выполнено при x = 0: формула требует, чтобы тогда y тоже равнялся нулю. Такая ошибка часто появляется, когда строят линию только по двум неверно рассчитанным точкам. Отметь точку (0; 0) отдельно и проверь, что через неё проходит проведённая прямая.

Игнорирование знака k приводит к неверному расположению точек: при отрицательном коэффициенте x и y должны иметь противоположные знаки. Например, если x положителен, y будет отрицательным, а не положительным. Перед построением подставь хотя бы одно положительное x и проверь знак полученного y.

Связь с другими темами

Для изучения этой темы нужно уметь подставлять числа в формулы, выполнять действия с положительными и отрицательными числами и отмечать точки на координатной плоскости. Эти навыки помогают составить таблицу значений и правильно разместить точки графика. Особенно важно не терять знак числа при умножении.

Прямая пропорциональность пригодится при изучении линейной функции и графиков зависимостей. Она также помогает решать практические задачи, в которых величины связаны постоянным отношением: достаточно найти коэффициент и использовать формулу. Позже её свойства станут основой для сравнения разных функций.

Что запомнить

• Прямая пропорциональность задаётся формулой y = kx.
• k — постоянный коэффициент пропорциональности.
• При x ≠ 0 коэффициент k равен y/x.
• График y = kx — прямая через начало координат.
• При k > 0 x и y имеют одинаковые знаки, при k < 0 — противоположные.
• Чем больше |k|, тем круче наклон графика.